Mostre que dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que dados dois triângulos equiláteros quaisquer, eles são sempre semelhantes.
Conteúdo envolvido: definição de triângulo equilátero (três lados iguais implicam três ângulos iguais) e definição de semelhança de triângulos (critério AAA ou SSS).

Passo 2

Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é
alpha + beta + gamma = 180^circ
Se o triângulo é equilátero, então alpha = beta = gamma. Substituindo,
3alpha = 180^circ
alpha = 60^circ
Logo, todo triângulo equilátero tem três ângulos de 60^circ.

Passo 3

Considere dois triângulos equiláteros quaisquer, T1 e T2. Pelo passo anterior, cada ângulo de T1 mede 60^circ e cada ângulo de T2 também mede 60^circ. Portanto, os três pares de ângulos correspondentes são congruentes.

Passo 4

Pelo critério AAA (três ângulos iguais) de semelhança de triângulos, se todos os ângulos de um triângulo correspondem em medida aos ângulos de outro, então esses triângulos são semelhantes.

Resposta

Qualquer par de triângulos equiláteros é sempre semelhante.

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