No triângulo A B C, A B=5, B C=12, C A=13. Qual a medida do ângulo B ?

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo ABC com lados AB=5, BC=12, CA=13 e pede o ângulo em B, isto é, hat B. Para resolver, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os três lados de um triângulo com o cosseno do ângulo entre dois deles.

Passo 2

A Lei dos Cossenos diz que, para qualquer triângulo com lados x, y que formam um ângulo theta e lado oposto a theta medindo z, vale
z^2 = x^2 + y^2 - 2,x,y,cos(theta)
Aqui queremos theta = hat B. O lado oposto a hat B é CA=13, e os lados adjacentes são AB=5 e BC=12.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula, obtemos
13^2 = 5^2 + 12^2 - 2cdot5cdot12cdotcos(hat B)
Calculando os quadrados, isto é
169 = 25 + 144 - 120cos(hat B),
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169 = 169 - 120cos(hat B)

Passo 4

Isolando cos(hat B), temos
120cos(hat B) = 169 - 169 = 0,
portanto
cos(hat B) = 0
O único ângulo entre 0^circ e 180^circ com cosseno igual a zero é 90^circ.

Resposta

hat B = 90^circ

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