Mostre que são semelhantes dois triângulos isósceles que têm iguais os ângulos opostos à base.

Passo 1

Resumindo, temos dois triângulos isósceles ABC com AB=AC e DEF com DE=DF, e sabemos que os ângulos opostos à base são iguais, ou seja,
ang<= A = ang<= D
O conteúdo que vamos usar é: em triângulos isósceles, lados iguais implicam ângulos opostos iguais, soma dos ângulos internos de um triângulo e o critério de semelhança por ângulos iguais (AA).

Passo 2

Em cada triângulo isósceles, os lados iguais geram ângulos iguais na base. Assim, no triângulo ABC temos
AB = AC Longrightarrow ang<= B = ang<= C,
e no triângulo DEF
DE = DF Longrightarrow ang<= E = ang<= F

Passo 3

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180^circ, no triângulo ABC
ang<= A + ang<= B + ang<= C = 180^circ Longrightarrow ang<= B + ang<= B + ang<= A = 180^circ Longrightarrow ang<= B = 180^circ - ang<= A2
Analogamente, no triângulo DEF
ang<= E = 180^circ - ang<= D2

Passo 4

Pelo enunciado ang<= A = ang<= D. Substituindo na expressão dos passos anteriores, obtemos
ang<= B = 180^circ - ang<= A2 e ang<= E = 180^circ - ang<= D2 Longrightarrow ang<= B = ang<= E
E como em cada triângulo ang<= C=ang<= B e ang<= F=ang<= E, segue também ang<= C=ang<= F.

Passo 5

Agora temos
ang<= A = ang<= D, ang<= B = ang<= E, ang<= C = ang<= F,
ou seja, os três pares de ângulos correspondentes são iguais. Pelo critério AA, os triângulos ABC e DEF são semelhantes.

Resposta

Os dois triângulos isósceles são semelhantes.

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