Mostre que todo triângulo retângulo de lados p^2-q^2, 2 p q e p^2+q^2 é um triângulo retângulo. Aqui p e q são quaisquer números inteiros positivos com p>q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o triângulo cujos lados valem (p^2 - q^2), (2pq) e (p^2 + q^2), com p e q inteiros positivos e p>q, é retângulo. Para isso vamos usar o Teorema de Pitágoras, que diz que num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Passo 2

Identificamos os catetos como (p^2 - q^2) e (2pq), e a hipotenusa como (p^2 + q^2). Calculamos a soma dos quadrados dos catetos:
(p^2 - q^2)^2 ;+;(2pq)^2

Passo 3

Expandimos cada termo:
(p^2 - q^2)^2 = p^4 ;-;2p^2q^2;+;q^4,
(2pq)^2 = 4p^2q^2
Somando-os,
p^4 - 2p^2q^2 + q^4 ;+; 4p^2q^2 = p^4 + 2p^2q^2 + q^4

Passo 4

Observamos que
p^4 + 2p^2q^2 + q^4 = (p^2 + q^2)^2,
ou seja, a soma dos quadrados dos dois menores lados coincide com o quadrado do maior lado. Pelo Teorema de Pitágoras, isso basta para concluir que o triângulo é retângulo.

Resposta

Como (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = (p^2 + q^2)^2, o triângulo de lados p^2-q^2,;2pq,;p^2+q^2 é retângulo.

Exercícios de Livros Relacionados