C 51 O navio A navega para o norte e o navio B navega para o oeste. Utilizando um plano coordenado x y, o radar registra as coordenadas (em km) de cada navio a intervalos de 1,25 minutos, conforme tabelas abaixo. Determine aproximadamente a taxa (em km/h) à qual a distância entre os navios está variando quando t=5.
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Navio A :
t(\mathrm{~min}) 1,25 2,50 3,75 5,00
x(\mathrm{~km}) 1,77 1,77 1,77 1,77
y(\mathrm{~km}) 2,71 3,03 3,35 3,67
Navio B:
t(\mathrm{~min}) 1,25 2,50 i_{2} 75 5,00
x(\mathrm{~km}) 5,24 5,52 5,80 6,08
y(\mathrm{~km}) 1,24 1,24 1,24 1,24

Passo 1

O enunciado dá as posições do navio A e do navio B num plano xy em instantes t (em minutos). O navio A vai para o norte (logo x_A é constante) e o navio B vai para o oeste (logo y_B é constante). Precisamos aproximar \tfrac{dD}{dt} em t=5 min, onde
D(t)=\sqrt{(x_A(t)-x_B(t))^2+(y_A(t)-y_B(t))^2}
Este é um problema de taxas relacionadas e usaremos a fórmula da distância entre pontos e suas derivadas.

Passo 2

Estimamos as velocidades de cada coordenada por diferença entre t=3{,}75 min e t=5{,}00 min ( \Delta t=1{,}25 min):
– Para A: \Delta x_A=1{,}77-1{,}77=0 km ⇒ \dot x_A=\frac{0}{1{,}25}=0 km/min \Delta y_A=3{,}67-3{,}35=0{,}32 km ⇒ \dot y_A=\frac{0{,}32}{1{,}25}=0{,}256 km/min =0{,}256\cdot60=15{,}36 km/h
– Para B: \Delta x_B=6{,}08-5{,}80=0{,}28 km ⇒ \dot x_B=\frac{0{,}28}{1{,}25}=0{,}224 km/min =0{,}224\cdot60=13{,}44 km/h \Delta y_B=1{,}24-1{,}24=0 km ⇒ \dot y_B=0 km/min

Passo 3

Em t=5 min temos
x_A=1{,}77,\quad y_A=3{,}67,\quad x_B=6{,}08,\quad y_B=1{,}24
Logo a distância é
D=\sqrt{(1{,}77-6{,}08)^2+(3{,}67-1{,}24)^2} =\sqrt{(-4{,}31)^2+(2{,}43)^2} \approx4{,}948\text{ km}.

Passo 4

Da fórmula
D^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2
derivamos em t:
2D\,\frac{dD}{dt} =2(x_A-x_B)(\dot x_A-\dot x_B) +2(y_A-y_B)(\dot y_A-\dot y_B).
Isolando \tfrac{dD}{dt}:
\frac{dD}{dt} =\frac{(x_A-x_B)(\dot x_A-\dot x_B)+(y_A-y_B)(\dot y_A-\dot y_B)}{D}.

Passo 5

Substituindo valores (note \dot x_A=0, \dot y_B=0):
\frac{dD}{dt} =\frac{(1{,}77-6{,}08)(0-13{,}44)+(3{,}67-1{,}24)(15{,}36-0)}{4{,}948} =\frac{(-4{,}31)(-13{,}44)+(2{,}43)(15{,}36)}{4{,}948} \approx\frac{57{,}97+37{,}32}{4{,}948} \approx19{,}27\text{ km/h}.

Resposta

A taxa de variação da distância em t=5 min é aproximadamente 19{,}3 km/h.

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