Obter um ponto P na reta r: y=3 x e equidistante dos pontos A(4,0) e B(0,2).

Passo 1

O enunciado pede um ponto P que esteja sobre a reta
r: y = 3x
e que satisfaça
dist( P,A) ;=;dist( P,B),
onde A=(4,0) e B=(0,2). Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e montar uma equação para a abscissa de P.

Passo 2

Como P está em r, podemos escrevê-la de forma paramétrica por
P = (t,,3t)

Passo 3

Aplicamos a condição de equidistância usando distâncias ao quadrado (para evitar raízes):
PA^2 &= (t-4)^2 + (3t-0)^2, PB^2 &= (t-0)^2 + (3t-2)^2
Igualando:
(t-4)^2 + (3t)^2 ;=; t^2 + (3t-2)^2

Passo 4

Expandindo cada lado:
(t-4)^2 +9t^2 &= t^2 -8t+16 +9t^2 = 10t^2 -8t +16, t^2 + (3t-2)^2 &= t^2 + (9t^2 -12t +4) = 10t^2 -12t +4
Logo
10t^2 -8t +16 = 10t^2 -12t +4
simplifica para
-8t +16 = -12t +4 Longrightarrow 4t = -12 Longrightarrow t = -3

Passo 5

Substituindo t=-3 em P=(t,3t) obtemos
P = (-3,,-9)

Resposta

P = (-3,-9)

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