Um operador
chama-se triangularizável quando
espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de T é triangular. Prove:
T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia ascendente
, de subespaços invariantes por
.
T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia ascendente
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um operador linear T em um espaço vetorial finito E é triangularizável exatamente quando existe uma bandeira completa de subespaços invariantes de dimensão crescente de 0 até dim E. O conteúdo é teoria de operadores lineares e bandeiras (flags) de subespaços invariantes, e vamos precisar usar a definição de matriz triangular e a construção de bases adaptadas a subespaços.
Passo 2
Suponha que T seja triangularizável. Então existe uma base (v_1,\dots,v_n) de E em que a matriz de T é triangular superior. Defina para cada i o subespaço F_i=span{v_1,\dots,v_i}). Claramente dim F_i=i e, como a matriz é triangular, T(v_j)\in span{v_1,\dots,v_j}=F_j para todo j. Logo T(F_j)\subset F_j e obtemos a cadeia 0=F_0⊂F_1⊂⋯⊂F_n=E de subespaços invariantes com dim F_i=i.
Passo 3
Agora suponha que exista uma cadeia ascendente 0=F_0⊂F_1⊂⋯⊂F_n=E de subespaços invariantes com dim F_i=i. Escolha um vetor não nulo e_1 em F_1; depois estenda (e_1)) a uma base de F_2 escolhendo e_2 em F_2∖F_1; continue assim até obter (e_1,\dots,e_n) base de E com cada e_j em F_j. Como cada F_j é invariante, T(e_j)\in F_j=span{e_1,\dots,e_j}), logo ao escrever T(e_j) nessa base só aparece combinação de e_1 até e_j, e a matriz de T nessa base é triangular superior.
Passo 4
Combinando os dois sentidos, mostramos que T é triangularizável se, e somente se, existe a bandeira desejada de subespaços invariantes de dimensões 0,1,\dots,n.
Resposta
T é triangularizável ↔ existe uma cadeia 0=F_0⊂F_1⊂⋯⊂F_n=E de subespaços invariantes por T com dim F_i=i para i=0,1,\dots,n.