Um operador T: E E chama-se triangularizável quando o espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de T é triangular. Prove:
Se existe uma base de E na qual a matriz de T é triangular superior, existe também uma base de E na qual a matriz de T é triangular inferior.

Passo 1

O enunciado afirma que existe uma base (v1,dots,vn) de E em que [T] é triangular superior, ou seja, para cada i=1,dots,n vale
T(vi)inspanv1,dots,vi
Queremos construir outra base em que [T] seja triangular inferior.

Passo 2

Definimos a ordem “invertida” dos vetores: para cada k=1,dots,n, seja
wk = vn+1-k
Como (v1,dots,vn) é base, (w1,dots,wn) também é base de E.

Passo 3

Agora examinamos T(wk) = Tl(vn+1-kr). Pela triangularidade superior na base v, temos
T(vn+1-k)inspanv1,dots,vn+1-k
Mas v1,dots,vn+1-k correspondem a wn, wn-1,dots,wk, isto é,
spanv1,dots,vn+1-k = spanwk, wk+1,dots,wn
Logo
T(wk)inspanwk, wk+1,dots,wn,
que é exatamente a condição para a matriz de T na base (w1,dots,wn) ser triangular inferior.

Passo 4

Portanto, definindo a base invertida (w1,dots,wn), a matriz de T fica triangular inferior, como queríamos.

Resposta

Basta inverter a ordem dos vetores da base triangular superior: se (v1,dots,vn) dá matriz superior, então (vn,dots,v1) dá matriz inferior.

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