Um operador
chama-se triangularizável quando
espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de T é triangular. Prove:
Se existe uma base de
na qual a matriz de
é triangular superior, existe também uma base de
na qual a matriz de
é triangular inferior.
Se existe uma base de
Passo 1
O enunciado afirma que existe uma base
de
em que
é triangular superior, ou seja, para cada
vale
Queremos construir outra base em que
seja triangular inferior.
Passo 2
Definimos a ordem “invertida” dos vetores: para cada
, seja
Como
é base,
também é base de
.
Passo 3
Agora examinamos
. Pela triangularidade superior na base
, temos
Mas
correspondem a
, isto é,
Logo
que é exatamente a condição para a matriz de
na base
ser triangular inferior.
Passo 4
Portanto, definindo a base invertida
, a matriz de
fica triangular inferior, como queríamos.
Resposta
Basta inverter a ordem dos vetores da base triangular superior: se
dá matriz superior, então
dá matriz inferior.