Se possível, encontre a e b tais que
\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l} a \\\ b \\\\ 2 \end{array}\right]
seja ortogonal a ambos
\mathbf{w}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{v}=\begin{pmatrix}a\b\\\ 2\end{pmatrix}, \mathbf{w}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} e \mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
e pede que \mathbf{v} seja ortogonal a \mathbf{w} e a \mathbf{x}.
Para vetores em \mathbb{R}^3, ortogonalidade significa produto escalar zero, ou seja
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0 \quad\text{e}\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{x}=0.

Passo 2

Impondo \mathbf{v}\cdot\mathbf{x}=0, calculamos
\mathbf{v}\cdot\mathbf{x} = a\cdot1 + b\cdot0 + 2\cdot1 = a + 2.
Da condição a+2=0 segue
a = -2.

Passo 3

Impondo \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0, temos
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = a\cdot2 + b\cdot1 + 2\cdot1 = 2a + b + 2.
Substituindo a=-2:
2(-2) + b + 2 = -4 + b + 2 = b - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 2.

Resposta

a = -2 b = 2

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