É possível para uma matriz singular
ser equivalente linha de uma matriz não singular
? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se uma matriz singular
pode ser equivalente por linhas a uma matriz não singular
. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente a noção de matriz invertível (não singular), matriz singular e equivalência por operações elementares de linha.
Passo 2
Uma matriz quadrada
de ordem
é não singular (invertível) se
; isso equivale a ter posto . Uma matriz é singular se
, o que significa .
Passo 3
Duas matrizes são equivalentes por linhas se uma pode ser obtida da outra por uma sequência de operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha em outra). Essas operações são todas reversíveis e não mudam o posto da matriz.
Passo 4
Como cada operação elementar preserva o posto, a matriz resultante
tem . Se
é não singular, então . Logo
o que implica
e portanto
também é não singular.
Resposta
Não. Operações elementares de linha preservam o posto (e o caráter invertível) da matriz, de modo que se
é não singular, toda matriz linha-equivalente a
também será não singular.