Prove que um polígono equilátero inscrito em um círculo é um polígono regular.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um polígono de
lados, equilátero e inscrito num círculo de centro
, é também equiângulo, ou seja, que todos os ângulos internos são iguais. Vamos usar dois resultados clássicos de geometria de círculos:
- Duas cordas iguais em um mesmo círculo subtendem arcos congruentes (e, portanto, ângulos centrais iguais).
- Um ângulo inscrito mede metade do arco que ele intercepta.
Passo 2
Seja
o polígono inscrito em torno de
e suponha que ele seja equilátero, isto é,
Pelo teorema das cordas iguais, cada corda
(índices mod
) subtende um ângulo central
que é constante para todo
. Logo todos esses ângulos centrais têm a mesma medida.
Passo 3
Como a soma dos ângulos centrais em torno de
é
, cada um deles vale
Isso mostra que todos os arcos menores
têm medida igual a
.
Passo 4
Considere agora um vértice genérico
. O ângulo interno do polígono naquele vértice é
,
que é um ângulo inscrito e intercepta o arco oposto, que é a união de todos os outros arcos consecutivos (cada um de medida
). Pelo teorema do ângulo inscrito,
que é um ângulo inscrito e intercepta o arco oposto, que é a união de todos os outros
Como isso independe de
, todos os ângulos internos são iguais.
Resposta
O polígono equilátero inscrito no círculo é também equiângulo, logo é um polígono regular.