Prove que um polígono equilátero inscrito em um círculo é um polígono regular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um polígono de n lados, equilátero e inscrito num círculo de centro O, é também equiângulo, ou seja, que todos os ângulos internos são iguais. Vamos usar dois resultados clássicos de geometria de círculos:
  1. Duas cordas iguais em um mesmo círculo subtendem arcos congruentes (e, portanto, ângulos centrais iguais).
  2. Um ângulo inscrito mede metade do arco que ele intercepta.

Passo 2

Seja A1A2dots An o polígono inscrito em torno de O e suponha que ele seja equilátero, isto é,
A1A2=A2A3=cdots=AnA1
Pelo teorema das cordas iguais, cada corda AiAi+1 (índices mod n) subtende um ângulo central
ang<= AiOAi+1
que é constante para todo i. Logo todos esses ângulos centrais têm a mesma medida.

Passo 3

Como a soma dos ângulos centrais em torno de O é 360^circ, cada um deles vale
360^circn
Isso mostra que todos os arcos menores AiAi+1 têm medida igual a 360^circn.

Passo 4

Considere agora um vértice genérico Ak. O ângulo interno do polígono naquele vértice é
ang<= Ak-1AkAk+1,
que é um ângulo inscrito e intercepta o arco oposto, que é a união de todos os outros n-2 arcos consecutivos (cada um de medida tfrac360^circn). Pelo teorema do ângulo inscrito,
ang<= Ak-1AkAk+1 = tfrac12l((n-2)timestfrac360^circnr) = 180^circ - tfrac360^circn
Como isso independe de k, todos os ângulos internos são iguais.

Resposta

O polígono equilátero inscrito no círculo é também equiângulo, logo é um polígono regular.

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