Prove que a matriz abaixo é negativa [cc-34 & 12 12 & -41].

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a matriz 2×2 A=-34 & 12 12 & -41 e queremos mostrar que ela é definida negativa. O conteúdo chave é teoria de formas quadráticas e o critério de Sylvester para matrizes simétricas. Vamos precisar calcular os menores principais de ordem 1 e 2.

Passo 2

Verificar que a matriz é simétrica, pois o critério de Sylvester exige isso. Observamos que os elementos fora da diagonal satisfazem a12=12=a21, logo A^T=A.

Passo 3

Calcular o menor principal de ordem 1, que é simplesmente o elemento a11:
De<a1 = -34
Note que De<a1<0, satisfazendo a primeira condição para negativa definidade.

Passo 4

Calcular o menor principal de ordem 2, ou seja o determinante de A:
De<a2 = det(A) = (-34)(-41) - 12^2 = 1394 - 144 = 1250
Aqui De<a2>0, satisfazendo a segunda condição do critério de Sylvester.

Passo 5

Concluir pelo critério de Sylvester: para ser definida negativa num 2×2 precisamos de De<a1<0 e De<a2>0. Como ambas se verificam, a matriz é definida negativa e portanto x^T A x<0 para todo xneq0.

Resposta

A matriz é definida negativa.

Exercícios de Livros Relacionados