O raio do círculo inscrito em um polígono regular é chamado de apótema do polígono regular. Prove que a área de um polígono regular é igual a metade do produto do seu perímetro pela seu apótema.

Passo 1

O enunciado pede provar que, em um polígono regular de perímetro p e apótema a, a área satisfaz
A = p,a2
Vamos usar geometria de triângulos: dividir o polígono em vários triângulos isósceles congruentes e somar suas áreas.

Passo 2

Seja um polígono regular de n lados, cada lado com comprimento ell, apótema a e centro em O. Traçando segmentos de O a cada vértice, obtemos n triângulos isósceles congruentes, cada um com base ell e altura a.

Passo 3

A área de cada triângulo isósceles é
Atriang<= = ell,a2

Passo 4

Somando as áreas dos n triângulos, a área total do polígono é
A = n,Atriang<= = nell,a2
Como o perímetro é p = n,ell, segue
A = p,a2

Resposta

A área de um polígono regular é p,a2.

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