O raio do círculo inscrito em um polígono regular é chamado de apótema do polígono regular. Prove que a área de um polígono regular é igual a metade do produto do seu perímetro pela seu apótema.
Passo 1
O enunciado pede provar que, em um polígono regular de perímetro
e apótema
, a área satisfaz
Vamos usar geometria de triângulos: dividir o polígono em vários triângulos isósceles congruentes e somar suas áreas.
Passo 2
Seja um polígono regular de
lados, cada lado com comprimento
, apótema
e centro em
. Traçando segmentos de
a cada vértice, obtemos
triângulos isósceles congruentes, cada um com base
e altura
.
Passo 3
A área de cada triângulo isósceles é
Passo 4
Somando as áreas dos
triângulos, a área total do polígono é
Como o perímetro é
, segue
Resposta
A área de um polígono regular é
.