Resolva as congruências:
7 x equiv 21 bmod 49

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear 7x equiv 21 pmod49. O conteúdo aqui é teoria de congruências lineares: para resolver, vamos usar o fato de que uma congruência axequiv bpmod m só tem solução se gcd(a,m) dividir b, e aí podemos reduzir a congruência dividindo tudo por esse divisor.

Passo 2

Calculemos o divisor comum d = gcd(7,49). Como 49 = 7times7, temos d = 7. Verificamos que d divide 21, pois 21 = 7times3. Logo, a congruência tem solução.

Passo 3

Dividimos toda a congruência por d=7. Isso nos dá
7x7 equiv 217 pmod497 ,Longrightarrow, x equiv 3 pmod7

Passo 4

A partir de xequiv3pmod7, a solução geral no módulo original (mod 49) é
x = 3 + 7k, k = 0,1,2,3,4,5,6

Resposta

As soluções são xequiv3pmod7, isto é, x=3+7k para k=0,1,dots,6, gerando no módulo 49 o conjunto 3,10,17,24,31,38,45.

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