Resolva o sistema de congruências
2 x+7 y equiv 2 & bmod 5 3 x-y equiv 1 & bmod 5

Passo 1

Temos o sistema de congruências abaixo, que pertence ao conteúdo de sistemas lineares no anel Z/5Z e vamos usar redução de equações e inversos módulo 5 para resolver:
2x+7yequiv2pmod53x-yequiv1pmod5

Passo 2

Na primeira equação, note que 7equiv2pmod5. Assim,
2x+7yequiv2x+2yequiv2pmod5
Como 2 é invertível em Z/5Z com inverso 3, multiplicamos ambos os lados por 3 e obtemos
x+yequiv1pmod5

Passo 3

A segunda equação fica
3x - yequiv1pmod5

Passo 4

Da primeira equação, isolamos y:
yequiv1 - xpmod5
Substituindo na segunda:
3x - (1 - x)equiv1pmod5
3x -1 + xequiv1pmod5
4xequiv2pmod5

Passo 5

O inverso de 4 em Z/5Z é 4 (pois 4cdot4=16equiv1pmod5), logo
xequiv4cdot2equiv8equiv3pmod5
Usando xequiv3 na expressão yequiv1 - x, temos
yequiv1 - 3equiv-2equiv3pmod5

Resposta

As soluções são xequiv3pmod5 e yequiv3pmod5.

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