Resolva os seguintes sistemas de congruências:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Temos dois sistemas de congruências. No caso (a), com módulos 11 e 7 coprimos, vamos usar o Teorema Chinês do Resto (CRT), que diz que existe solução única módulo o produto 11·7=77. No caso (b), como os módulos 8 e 4 não são coprimos, usaremos a condição de compatibilidade: existe solução se e somente se o gcd(8,4) divide a diferença dos restos.
Passo 2
Para o sistema (a), escrevemos
e substituímos na segunda congruência:
. Como
, isso vira
, ou seja
. O inverso de 4 módulo 7 é 2, logo
. Substituindo de volta,
. Assim a solução é
.
Passo 3
Para o sistema (b), calculamos
. A condição de compatibilidade exige que
divida
, mas 4 não divide 3. Portanto não há valor de
que satisfaça ambas as congruências simultaneamente.
Resposta
a)
; b) não há solução.