Resolva os seguintes sistemas de congruências:
(a)
x equiv 6 & bmod 11 x equiv 3 & bmod 7
(b)
x equiv 4 & bmod 8 x equiv 1 & bmod 4

Passo 1

Temos dois sistemas de congruências. No caso (a), com módulos 11 e 7 coprimos, vamos usar o Teorema Chinês do Resto (CRT), que diz que existe solução única módulo o produto 11·7=77. No caso (b), como os módulos 8 e 4 não são coprimos, usaremos a condição de compatibilidade: existe solução se e somente se o gcd(8,4) divide a diferença dos restos.

Passo 2

Para o sistema (a), escrevemos x = 6 + 11k e substituímos na segunda congruência: 6 + 11k equiv 3 bmod 7. Como 11 equiv 4 bmod 7, isso vira 6 + 4k equiv 3 bmod 7, ou seja 4k equiv 3 - 6 = -3 equiv 4 bmod 7. O inverso de 4 módulo 7 é 2, logo k equiv 4cdot2 = 8 equiv 1 bmod 7. Substituindo de volta, x = 6 + 11cdot1 = 17. Assim a solução é x equiv 17 bmod 77.

Passo 3

Para o sistema (b), calculamos d = gcd(8,4) = 4. A condição de compatibilidade exige que d divida 4 - 1 = 3, mas 4 não divide 3. Portanto não há valor de x que satisfaça ambas as congruências simultaneamente.

Resposta

a) x equiv 17 bmod 77; b) não há solução.

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