Resolva as congruências:
Passo 1
Temos a congruência
. O conteúdo aqui é resolução de congruência linear, e vamos precisar do conceito de máximo divisor comum (mdc) e de inverso modular para achar todas as soluções.
Passo 2
Para resolver, calculamos o mdc de 18 e 42 usando o algoritmo de Euclides. Começamos dividindo 42 por 18:
Agora dividimos 18 por 6:
Então o mdc(18,42) é o último resto não nulo, que é 6.
Passo 3
Como
e 6 divide o lado direito 12, existe solução. Se o mdc não dividisse 12, não haveria solução. Podemos dividir toda a congruência pelo mdc para simplificar. Dividindo por 6:
que dá
Passo 4
Agora precisamos do inverso de 3 módulo 7, isto é, um número
tal que
. Testando ou usando o pequeno teorema de Fermat, encontramos
porque
Multiplicamos ambos os lados de
por 5:
Passo 5
Portanto, a solução geral na forma reduzida é
. Para voltar ao módulo original 42, escrevemos
Resposta
As soluções são ,x \equiv 3,10,17,24,31,38 \pmod{42}, (equivalente a x \equiv 3 \pmod{7}).