Resolva as congruências:
18 x equiv 12 bmod 42

Passo 1

Temos a congruência 18x equiv 12 pmod42. O conteúdo aqui é resolução de congruência linear, e vamos precisar do conceito de máximo divisor comum (mdc) e de inverso modular para achar todas as soluções.

Passo 2

Para resolver, calculamos o mdc de 18 e 42 usando o algoritmo de Euclides. Começamos dividindo 42 por 18:
42 = 18 times 2 + 6
Agora dividimos 18 por 6:
18 = 6 times 3 + 0
Então o mdc(18,42) é o último resto não nulo, que é 6.

Passo 3

Como gcd(18,42)=6 e 6 divide o lado direito 12, existe solução. Se o mdc não dividisse 12, não haveria solução. Podemos dividir toda a congruência pelo mdc para simplificar. Dividindo por 6:
186x equiv 126 pmod426
que dá
3x equiv 2 pmod7

Passo 4

Agora precisamos do inverso de 3 módulo 7, isto é, um número d tal que 3d equiv 1 pmod7. Testando ou usando o pequeno teorema de Fermat, encontramos d = 5 porque
3 cdot 5 = 15 equiv 1 pmod7
Multiplicamos ambos os lados de 3x equiv 2 pmod7 por 5:
x equiv 2 cdot 5 equiv 10 equiv 3 pmod7

Passo 5

Portanto, a solução geral na forma reduzida é x equiv 3 pmod7. Para voltar ao módulo original 42, escrevemos
x = 3 + 7k, k = 0,1,2,3,4,5

Resposta

As soluções são ,x \equiv 3,10,17,24,31,38 \pmod{42}, (equivalente a x \equiv 3 \pmod{7}).

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