Resolva as congruências:
12 x equiv 9 bmod 15

Passo 1

A questão nos dá a congruência 12x equiv 9 bmod 15. O assunto aqui é resolução de equações lineares em congruências, e vamos precisar calcular o gcd entre coeficiente e módulo e usar inverso modular.

Passo 2

Calculamos gcd(12,15)=3. Como 3 divide 9, a congruência admite soluções; caso contrário não haveria solução.
Dividimos ambos os lados por 3, reduzindo a congruência para 4x equiv 3 bmod 5. Essa simplificação é válida sempre que dividimos pelo gcd comum.

Passo 3

Agora precisamos do inverso de 4 em bmod 5. Vendo que 4cdot4=16equiv1 bmod 5, temos 4^-1equiv4. Multiplicando a congruência por 4, obtemos xequiv4cdot3=12equiv2 bmod5.

Passo 4

O módulo original era 15 e o gcd foi 3, então surgem 3 soluções distintas no intervalo de 0 a 14, dadas por x=2+5k com k=0,1,2, ou seja, xequiv2,7,12 bmod 15.

Resposta

As soluções são xequiv2,7,12 bmod 15.

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