Resolva as desigualdades e, usando intervalos, dê o conjunto solução:
(h) -x^2+10 x-18-x^2+2 x+8>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional -x^2+10x-18-x^2+2x+8>0 usando intervalos. O conteúdo é inequação de função racional; vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar raízes e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Escrevemos a função e fatoramos numerador e denominador. Primeiro,
f(x)=-x^2+10x-18-x^2+2x+8
No numerador:
-x^2+10x-18=-(x^2-10x+18)=-(x-(5-raiz7))(x-(5+raiz7))
No denominador:
-x^2+2x+8=-(x^2-2x-8)=-(x-4)(x+2)
Os fatores -1 no numerador e denominador se cancelam, então
f(x)=(x-(5-raiz7))(x-(5+raiz7))(x-4)(x+2)

Passo 3

As raízes críticas são x=-2,;x=5-raiz7,;x=4,;x=5+raiz7. Montamos o quadro de sinais testando um ponto em cada intervalo:
  • Em ( -infty,-2): todos os fatores x-(5pmraiz7) são negativos (produto positivo) e (x-4)(x+2) positivo → f(x)>0.
  • Em (-2,5-raiz7): numerador positivo, denominador negativo → f(x)<0.
  • Em (5-raiz7,4): numerador negativo, denominador negativo → f(x)>0.
  • Em (4,5+raiz7): numerador negativo, denominador positivo → f(x)<0.
  • Em (5+raiz7,infty): numerador e denominador positivos → f(x)>0.

Passo 4

Como queremos f(x)>0, e lembrando que em x=-2 ou x=4 a função não existe, e em x=5pmraiz7 ela anula, a solução é a união dos intervalos onde f(x) é estritamente positiva.

Resposta

(-\infty, -2) \cup (5-\sqrt7, 4) \cup (5+\sqrt7, +\infty)

Exercícios de Livros Relacionados