Resolva as equações,tendo sido indicada uma raiz.
x^4-4 x^3+6 x^2-16 x+8=0 ; 2 i

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 16x + 8 = 0
sabendo que uma das raízes é ,2i. O conteúdo principal envolve fatoração de polinômio com coeficientes reais, uso do teorema das raízes conjugadas e divisão polinomial para encontrar o fator quadrático remanescente.

Passo 2

Como os coeficientes do polinômio são reais e ,2i é raiz, a conjugada -2i também é raiz. Logo o polinômio é divisível por
(x - 2i)(x + 2i) = x^2 + 4

Passo 3

Para obter o outro fator, dividimos
x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 16x + 8
por
x^2 + 4
Fazendo a divisão polinomial, obtemos quociente
x^2 - 4x + 2
e resto zero.

Passo 4

Agora resolvemos
x^2 - 4x + 2 = 0
pelo fórmula de Bhaskara:
x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot22cdot1 = 4 pm raiz16 - 82 = 4 pm raiz82 = 2 pm raiz2

Resposta

As quatro raízes da equação são
x = 2i, x = -2i, x = 2 + raiz2, x = 2 - raiz2

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