Resolva as seguintes equações por fatoração.
(g) x2 a=4 ax+2 a

Passo 1

Resumindo o enunciado: resolver por fatoração a equação x2a=4ax+2a. O conteúdo utilizado será manipulação algébrica de equações racionais, eliminando denominadores e fatorando um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 2a(x+2a), que é o produto dos denominadores, lembrando que aneq0 e x+2aneq0 para evitar divisão por zero. Isso dá
x(x+2a)=4acdot2a

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e calculando o produto no direito, obtemos
x^2+2ax=8a^2
Passamos o termo 8a^2 para o lado esquerdo para formar um polinômio igual a zero:
x^2+2ax-8a^2=0

Passo 4

Agora fatoramos o polinômio. Procuramos dois números cujo produto seja -8a^2 e soma seja 2a. Esses números são 4a e -2a, logo
x^2+2ax-8a^2=(x-2a)(x+4a)=0

Passo 5

Pela propriedade do produto zero, as raízes são
x-2a=0Rightarrow x=2a,
x+4a=0Rightarrow x=-4a
Verificamos que ambas as soluções não anulam os denominadores ( 2aneq0 e -4a+2a=-2aneq0 desde que aneq0).

Resposta

As soluções da equação são x=2a e x=-4a, com aneq0.

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