Dê os seguintes exemplos:
Uma matriz (não-quadrada) cujas linhas são ortogonais e têm a mesma norma mas as colunas não são ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de matriz não-quadrada cujas linhas são vetores ortogonais de mesma norma, mas cujas colunas não sejam ortogonais. O assunto aqui é produto interno em , ortogonalidade de vetores e norma de vetores.
Passo 2
Duas linhas (ou vetores) em são ortogonais se o produto interno . A norma de um vetor é . Queremos e .
Passo 3
Vamos construir uma matriz , com duas linhas em . Escolhemos a primeira linha simples e de norma desejada, e depois achamos a segunda.
Passo 4
Escolhemos
cuja norma é
Passo 5
Para queremos
e
Para simplificar, assumimos . A condição vira logo . Substituindo em temos
Então
uja norma é também 3 e .
Passo 6
Montamos então
As linhas são ortogonais e têm norma 3.
Passo 7
Basta verificar que as colunas não são ortogonais: por exemplo, a segunda e a terceira coluna são