Dê os seguintes exemplos:
Uma matriz (não-quadrada) cujas linhas são ortogonais e têm a mesma norma mas as colunas não são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz não-quadrada cujas linhas são vetores ortogonais de mesma norma, mas cujas colunas não sejam ortogonais. O assunto aqui é produto interno em R^n, ortogonalidade de vetores e norma de vetores.

Passo 2

Duas linhas (ou vetores) r1,r2 em R^3 são ortogonais se o produto interno r1cdot r2=0. A norma de um vetor r=(a,b,c) é |r|=raiza^2+b^2+c^2. Queremos r1cdot r2=0 e |r1|=|r2|.

Passo 3

Vamos construir uma matriz 2times3, com duas linhas em R^3. Escolhemos a primeira linha simples e de norma desejada, e depois achamos a segunda.

Passo 4

Escolhemos
r1=(1,2,2),
cuja norma é
|r1|=raiz1^2+2^2+2^2=raiz9=3

Passo 5

Para r2=(a,b,c) queremos
r1cdot r2=1cdot a+2cdot b+2cdot c=0,
e
|r2|^2=a^2+b^2+c^2=9
Para simplificar, assumimos b=c. A condição a+2b+2c=0 vira a+4b=0 logo a=-4b. Substituindo em a^2+b^2+c^2=9 temos
(-4b)^2+2b^2=16b^2+2b^2=18b^2=9implies b^2=tfrac12implies b=tfrac1raiz2
Então
r2=l(-4,tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)=l(-2raiz2,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r),
uja norma é também 3 e r1cdot r2=0.

Passo 6

Montamos então
A= 1 & 2 & 2 -2raiz2 & tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2
As linhas são ortogonais e têm norma 3.

Passo 7

Basta verificar que as colunas não são ortogonais: por exemplo, a segunda e a terceira coluna são
c2=(2,tfrac1raiz2), c3=(2,tfrac1raiz2),
seu produto interno é
c2cdot c3=2cdot2+tfrac1raiz2cdottfrac1raiz2=4+tfrac12=4,5neq0

Resposta

Um exemplo é
A= 1 & 2 & 2 -2raiz2 & tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2
As linhas de A são ortogonais e têm norma 3, mas suas colunas não são ortogonais.

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