Seja a equação
. Identifique as cônicas abaixo incluindo os casos degenerados.
Nos casos degenerados, descreva o conjunto solução da equação.
;
Passo 1
O enunciado pede para, dada a equação
com
,
e
, identificar a cônica correspondente (incluindo possíveis casos degenerados). Vamos usar o conteúdo de classificação de cônicas a partir da forma geral reduzida.
Passo 2
Para classificar, observamos que os coeficientes de
e
são positivos (
e
) e o lado direito
também é positivo. Na teoria de cônicas, quando temos soma de termos quadráticos positivos igual a constante positiva, trata-se de uma elipse (ou circunferência se os coeficientes forem iguais).
Para ver isso claramente, dividimos ambos os lados da equação por para pôr no formato padrão de elipse:
Para ver isso claramente, dividimos ambos os lados da equação por
ou seja:
Passo 3
Agora podemos escrever como elipse com semieixos:
Logo, os semieixos são:
- ao longo de
: , - ao longo de
:
Passo 4
Não há caso degenerado aqui porque
; a curva é uma elipse verdadeira. Se ainda quisermos notar um caso especial, quando
, a fração
vale 1 e a elipse torna-se um círculo de raio 1 centrado em
.
Resposta
Elipse não degenerada centrada em
com semieixos de comprimento 1 (eixo horizontal) e
(eixo vertical).