Seja a equação A(x-a)^2+B(y-b)^2=lambda. Identifique as cônicas abaixo incluindo os casos degenerados.
Nos casos degenerados, descreva o conjunto solução da equação.
A>0, B>0, lambda=A;

Passo 1

O enunciado pede para, dada a equação A(x-a)^2 + B(y-b)^2 = lambda com A>0, B>0 e lambda=A, identificar a cônica correspondente (incluindo possíveis casos degenerados). Vamos usar o conteúdo de classificação de cônicas a partir da forma geral reduzida.

Passo 2

Para classificar, observamos que os coeficientes de (x-a)^2 e (y-b)^2 são positivos ( A>0 e B>0) e o lado direito lambda=A também é positivo. Na teoria de cônicas, quando temos soma de termos quadráticos positivos igual a constante positiva, trata-se de uma elipse (ou circunferência se os coeficientes forem iguais).
Para ver isso claramente, dividimos ambos os lados da equação por A para pôr no formato padrão de elipse:
A(x-a)^2A + B(y-b)^2A = AA,,
ou seja:
(x-a)^2 + BA(y-b)^2 = 1

Passo 3

Agora podemos escrever como elipse com semieixos:
(x-a)^21 + (y-b)^2A/B = 1,
Logo, os semieixos são:
  • ao longo de x: ax = 1,
  • ao longo de y: ay = raizA/B

Passo 4

Não há caso degenerado aqui porque lambda>0; a curva é uma elipse verdadeira. Se ainda quisermos notar um caso especial, quando A=B, a fração A/B vale 1 e a elipse torna-se um círculo de raio 1 centrado em (a,b).

Resposta

Elipse não degenerada centrada em (a,b) com semieixos de comprimento 1 (eixo horizontal) e raizA/B (eixo vertical).

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