Verifique que as cônicas abaixo são invariantes pelas seguintes simetrias: em relação à reta
, em relação à reta
e em relação ao ponto
.
.
Passo 1
O enunciado apresenta uma elipse centrada em
cuja equação é
O conteúdo é simetrias de cônicas (reflexões e simetria central). Para provar invariância, vamos aplicar cada transformação e mostrar que a equação resultante é idêntica à original.
Passo 2
Para a reflexão em relação à reta
, tomamos um ponto genérico
e sua imagem
definida por
Substituindo na elipse:
Como o sinal se anula ao quadrado, a forma da equação não muda, provando a invariância.
Passo 3
Na reflexão em relação à reta
, definimos
Substituindo:
mantendo a mesma equação e garantindo a invariância.
Passo 4
Para a simetria central em torno de
, a imagem de
é dada por
Então
mostrando que a elipse permanece inalterada sob essa transformação.
Resposta
A equação da elipse permanece idêntica em cada caso, logo ela é invariável pelas reflexões em
, em
e pela simetria central no ponto
.