Verifique que as cônicas abaixo são invariantes pelas seguintes simetrias: em relação à reta x=x0, em relação à reta y=y0 e em relação ao ponto P0=(x0, y0).
(x-x0)^2a^2+(y-y0)^2b^2=1.

Passo 1

O enunciado apresenta uma elipse centrada em P0=(x0,y0) cuja equação é
(x-x0)^2a^2 + (y-y0)^2b^2 = 1
O conteúdo é simetrias de cônicas (reflexões e simetria central). Para provar invariância, vamos aplicar cada transformação e mostrar que a equação resultante é idêntica à original.

Passo 2

Para a reflexão em relação à reta x=x0, tomamos um ponto genérico (x,y) e sua imagem (x',y') definida por
x' = 2x0 - x, y' = y
Substituindo na elipse:
(x'-x0)^2a^2 + (y'-y0)^2b^2 = l((2x0-x)-x0r)^2a^2 + (y-y0)^2b^2 = (-(x-x0))^2a^2 + (y-y0)^2b^2 = 1
Como o sinal se anula ao quadrado, a forma da equação não muda, provando a invariância.

Passo 3

Na reflexão em relação à reta y=y0, definimos
x' = x, y' = 2y0 - y
Substituindo:
(x'-x0)^2a^2 + (y'-y0)^2b^2 = (x-x0)^2a^2 + l((2y0-y)-y0r)^2b^2 = (x-x0)^2a^2 + (-(y-y0))^2b^2 = 1,
mantendo a mesma equação e garantindo a invariância.

Passo 4

Para a simetria central em torno de P0, a imagem de (x,y) é dada por
x' = 2x0 - x, y' = 2y0 - y
Então
(x'-x0)^2a^2 + (y'-y0)^2b^2 = (-(x-x0))^2a^2 + (-(y-y0))^2b^2 = 1,
mostrando que a elipse permanece inalterada sob essa transformação.

Resposta

A equação da elipse permanece idêntica em cada caso, logo ela é invariável pelas reflexões em x=x0, em y=y0 e pela simetria central no ponto P0.

Exercícios de Livros Relacionados