Seja
uma forma quadrática em
e defina
por
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(c) Será
uma transformação linear? Explique.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Será
Passo 1
O enunciado define uma forma quadrática
e pede para mostrar as propriedades de soma e de homogeneidade, e então verificar se
é linear. Vamos usar as propriedades de multiplicação de matrizes e o fato de que, para uma forma quadrática,
pode ser assumido simétrico, de modo que
.
Passo 2
Queremos calcular
. Usando a definição,
Como
é simétrico,
. Logo,
Passo 3
Para
,
Passo 4
Uma transformação linear
deveria satisfazer
Aqui vemos que
(em geral o termo
não é zero) e
para
. Portanto
não é linear.
Resposta
(a)
(b)
(c) não é linear, pois falha tanto na aditividade (surgem termos cruzados) quanto na homogeneidade de grau 1.
(b)
(c)