Seja x^T A x uma forma quadrática em x1, x2, ldots, xn e defina T: R^n R por T(x)=x^T A x.
(a) Mostre que T(x+y)=T(x)+2 x^T A y+T(y).
(b) Mostre que T(k x)=k^2 T(x).
(c) Será T uma transformação linear? Explique.

Passo 1

O enunciado define uma forma quadrática
Tcolon R^n to R, T(x) = x^T A x,
e pede para mostrar as propriedades de soma e de homogeneidade, e então verificar se T é linear. Vamos usar as propriedades de multiplicação de matrizes e o fato de que, para uma forma quadrática, A pode ser assumido simétrico, de modo que x^T A y = y^T A x.

Passo 2

Queremos calcular T(x+y). Usando a definição,
T(x+y) = (x+y)^T A (x+y) = x^T A x + x^T A y + y^T A x + y^T A y
Como A é simétrico, y^T A x = x^T A y. Logo,
T(x+y) = T(x) + 2,x^T A y + T(y)

Passo 3

Para kinR,
T(kx) = (kx)^T A (kx) = k,x^T A (kx) = k^2,x^T A x = k^2,T(x)

Passo 4

Uma transformação linear L deveria satisfazer
L(x+y) = L(x) + L(y) e L(kx) = k,L(x)
Aqui vemos que
T(x+y) = T(x) + 2,x^T A y + T(y) neq T(x) + T(y)
(em geral o termo 2,x^T A y não é zero) e
T(kx) = k^2,T(x) neq k,T(x)
para kneq 0,1. Portanto T não é linear.

Resposta

(a) T(x+y) = T(x) + 2,x^T A y + T(y)
(b) T(kx) = k^2,T(x)
(c) T não é linear, pois falha tanto na aditividade (surgem termos cruzados) quanto na homogeneidade de grau 1.

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