Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma 2 n ou 2 n+1 com n in Z. Os números da forma 2 n são chamados pares e os da forma 2 n+1 são chamados ímpares. Mostre que:
de dois inteiros consecutivos um deles é par;

Passo 1

O enunciado pede para usar a divisão euclidiana com divisor 2 para mostrar que todo inteiro é da forma par ou ímpar e, em seguida, provar que de dois inteiros consecutivos um deles é par.

Passo 2

Pela divisão euclidiana, para qualquer inteiro a existem únicos inteiros q e r tais que
a = 2q + r, 0 <= r < 2

Passo 3

Como r só pode ser 0 ou 1, concluímos que:
bul<=t se r = 0, então a = 2q é par;
bul<=t se r = 1, então a = 2q + 1 é ímpar.
Isso define toda a teoria de paridade: números da forma 2n são pares e da forma 2n+1 são ímpares.

Passo 4

Agora, sejam dois inteiros consecutivos k e k+1. Pela representação acima, ou:
bul<=t k = 2n para algum n, ou
bul<=t k = 2n+1 para algum n.
Se k = 2n então k é par e k+1 = 2n+1 é ímpar. Se k = 2n+1 então k+1 = 2n+2 = 2(n+1) é par. Em ambos os casos um deles é par.

Resposta

De dois inteiros consecutivos um deles é par.

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