Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma
ou
com
. Os números da forma
são chamados pares e os da forma
são chamados ímpares. Mostre que:
de dois inteiros consecutivos um deles é par;
de dois inteiros consecutivos um deles é par;
Passo 1
O enunciado pede para usar a divisão euclidiana com divisor 2 para mostrar que todo inteiro é da forma par ou ímpar e, em seguida, provar que de dois inteiros consecutivos um deles é par.
Passo 2
Pela divisão euclidiana, para qualquer inteiro
existem únicos inteiros
e
tais que
Passo 3
Como
só pode ser 0 ou 1, concluímos que:
se
, então
é par;
se
, então
é ímpar.
Isso define toda a teoria de paridade: números da forma são pares e da forma
são ímpares.
Isso define toda a teoria de paridade: números da forma
Passo 4
Agora, sejam dois inteiros consecutivos
e
. Pela representação acima, ou:
para algum
, ou
para algum
.
Se então
é par e
é ímpar. Se
então
é par. Em ambos os casos um deles é par.
Se
Resposta
De dois inteiros consecutivos um deles é par.