Seja a reta r: x-5 y+1=0.
a. Determine o simétrico da reta s: x-y+1=0 em relação a r.
b. Considere o triângulo de vértices A=(1,1), B=(-1,4), C= (3,1). Encontre a figura geométrica correspondente ao simétrico desse triângulo em relação à r. A figura obtida é um triângulo?
Em caso afirmativo, os triângulos são congruentes?

Passo 1

O enunciado pede para refletir a reta s: x - y + 1 = 0 em relação à reta r: x - 5y + 1 = 0 e estudar o simétrico do triângulo de vértices A=(1,1), B=(-1,4) e C=(3,1). O conteúdo envolve simetria axial (reflexão) no plano, a fórmula de reflexão de um ponto em relação a uma reta e a propriedade de que essa reflexão é uma isometria.

Passo 2

Para encontrar a reta simétrica s' de s em relação a r, escolhemos dois pontos em s, refletimos cada um em r usando a fórmula de reflexão de ponto e depois determinamos a equação de s' passando pelas imagens desses pontos.

Passo 3

A fórmula de reflexão de um ponto (x0,y0) em relação à reta Ax + By + C = 0 é:
x' = x0 - 2A(Ax0 + B y0 + C)A^2 + B^2
y' = y0 - 2B(Ax0 + B y0 + C)A^2 + B^2
Para P1 = (0,1): A=1, B=-5, C=1, Ax0 + By0 + C = -4, A^2 + B^2 = 26. Então:
x' = 0 - 2cdot1cdot(-4)26 = 413
y' = 1 - 2cdot(-5)cdot(-4)26 = -713
Para P2 = (-1,0) temos Ax0 + By0 + C = 0, logo P2’ = (-1,0).

Passo 4

Com P1’ = (4/13, -7/13) e P2’ = (-1,0), o vetor diretor de s' é (17,-7). A equação geral de s' é
7x + 17y + 7 = 0

Passo 5

Para refletir o triângulo, aplicamos a mesma fórmula aos vértices:
A = (1,1) reflete em A' = (16/13, -2/13),
B = (-1,4) reflete em B' = (7/13, -48/13),
C = (3,1) reflete em C' = (40/13, 8/13).
A imagem é o triângulo A'B'C'.

Passo 6

Como a simetria axial é uma isometria, os comprimentos e ângulos são preservados. Logo, o triângulo A'B'C' é congruente ao ABC.

Resposta

a) A reta simétrica de s em relação a r é 7x + 17y + 7 = 0.
b) A figura obtida é o triângulo A'B'C' com vértices A'=(16/13,-2/13), B'=(7/13,-48/13), C'=(40/13,8/13). Sim, é um triângulo e é congruente a ABC.

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