Verifique que as cônicas abaixo são invariantes pelas seguintes simetrias: em relação à reta
, em relação à reta
e em relação ao ponto
.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a hipérbole centrada em
, dada por
é invariante sob três simetrias: reflexão na reta
, na reta
e inversão no ponto
. Para isso vamos usar transformações que mandam um ponto
no seu simétrico e verificar que a equação não muda.
Passo 2
Reflexão na reta
: definimos a transformação
Substituindo na equação:
Como ficou idêntica, há invariância.
Passo 3
Reflexão na reta
: definimos
Substituindo:
Novamente a equação não se altera.
Passo 4
Inversão no ponto
: compomos as duas reflexões anteriores em série. Ou seja,
Substituindo de uma vez:
Assim a hipérbole permanece inalterada sob a rotação de 180° em torno de
.
Resposta
A equação não sofre modificação em nenhuma das três transformações, portanto a cônica é invariante nas simetrias indicadas.