Verifique que as cônicas abaixo são invariantes pelas seguintes simetrias: em relação à reta x=x0, em relação à reta y=y0 e em relação ao ponto P0=(x0, y0).
(x-x0)^2a^2-(y-y0)^2b^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a hipérbole centrada em P0=(x0,y0), dada por
(x-x0)^2a^2; -; (y-y0)^2b^2=1
é invariante sob três simetrias: reflexão na reta x=x0, na reta y=y0 e inversão no ponto P0. Para isso vamos usar transformações que mandam um ponto (x,y) no seu simétrico e verificar que a equação não muda.

Passo 2

Reflexão na reta x=x0: definimos a transformação
Tx0:(x,y)mapsto(x',y'), x'=2x0-x,;y'=y
Substituindo na equação:
((2x0-x)-x0)^2a^2-(y-y0)^2b^2=(x0-x)^2a^2-(y-y0)^2b^2=(x-x0)^2a^2-(y-y0)^2b^2=1
Como ficou idêntica, há invariância.

Passo 3

Reflexão na reta y=y0: definimos
Ty0:(x,y)mapsto(x',y'), x'=x,;y'=2y0-y
Substituindo:
(x-x0)^2a^2-((2y0-y)-y0)^2b^2=(x-x0)^2a^2-(y0-y)^2b^2=(x-x0)^2a^2-(y-y0)^2b^2=1
Novamente a equação não se altera.

Passo 4

Inversão no ponto P0: compomos as duas reflexões anteriores em série. Ou seja,
TP0:(x,y)mapsto(x'',y''), x''=2x0-x,;y''=2y0-y
Substituindo de uma vez:
((2x0-x)-x0)^2a^2-((2y0-y)-y0)^2b^2=(x0-x)^2a^2-(y0-y)^2b^2=(x-x0)^2a^2-(y-y0)^2b^2=1
Assim a hipérbole permanece inalterada sob a rotação de 180° em torno de P0.

Resposta

A equação não sofre modificação em nenhuma das três transformações, portanto a cônica é invariante nas simetrias indicadas.

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