Sejam A=(-1,0), B=(-12, 2) e C=(2,1).
a. Determine o baricentro do triângulo A B C usando a identidade (2.1).
b. Determine os pontos médios dos lados do triângulo A B C e mostre que a soma dos vetores representados pelas medianas do triângulo é igual a 0. Esta propriedade é válida em qualquer outro triângulo?

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo: A=(–1,0), B=(–1/2,2), C=(2,1). O conteúdo é baricentro e medianas de triângulo. Vamos usar a fórmula do baricentro e, em seguida, achar pontos médios e vetores medianas.

Passo 2

Para achar o baricentro usamos a identidade (2.1): em coordenadas 2D, o ponto G é a média aritmética dos vértices. Assim,
Gx=xA+xB+xC3=-1+(-tfrac12)+23=1/23=tfrac16, Gy=yA+yB+yC3=0+2+13=1
O ponto G do baricentro é, portanto,
G=(tfrac16,1)

Passo 3

Para determinar os pontos médios dos lados, lembramos que o ponto médio entre P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2) é ((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2). Aplicando a cada par de vértices:
MBC=l(tfrac-1/2+22,tfrac2+12r)=(tfrac3/4,tfrac32),
MCA=l(tfrac-1+22,tfrac0+12r)=(tfrac12,tfrac12),
MAB=l(tfrac-1+(-1/2)2,tfrac0+22r)=(-tfrac34,1)

Passo 4

Agora as medianas são os vetores de cada vértice até o ponto médio do lado oposto. Calculamos:
AMBC=l(tfrac34-(-1),tfrac32-0r)=(tfrac74,tfrac32),
BMCA=l(tfrac12-(-tfrac12),tfrac12-2r)=(1,-tfrac32),
CMAB=l(-tfrac34-2,1-1r)=(-tfrac114,0)

Passo 5

Somando essas três medianas:
AMBC+BMCA+CMAB=(tfrac74+1-tfrac114,tfrac32-tfrac32+0)=(0,0)

Passo 6

Portanto, a soma dos vetores medianas é o vetor nulo. Essa propriedade—que as três medianas de um triângulo somam o vetor zero—vale para qualquer triângulo, pois decorre da mesma média aritmética dos vértices.

Resposta

Baricentro: G=(tfrac16,1).
Pontos médios: MBC=(tfrac34,tfrac32), MCA=(tfrac12,tfrac12), MAB=(-tfrac34,1).
Vetores medianas: AMBC=(tfrac74,tfrac32), BMCA=(1,-tfrac32), CMAB=(-tfrac114,0), cuja soma é (0,0). Essa propriedade é válida em qualquer triângulo.

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