Sejam e .
a. Determine o baricentro do triângulo usando a identidade (2.1).
b. Determine os pontos médios dos lados do triângulo e mostre que a soma dos vetores representados pelas medianas do triângulo é igual a . Esta propriedade é válida em qualquer outro triângulo?
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo: A=(–1,0), B=(–1/2,2), C=(2,1). O conteúdo é baricentro e medianas de triângulo. Vamos usar a fórmula do baricentro e, em seguida, achar pontos médios e vetores medianas.
Passo 2
Para achar o baricentro usamos a identidade (2.1): em coordenadas 2D, o ponto G é a média aritmética dos vértices. Assim,
O ponto G do baricentro é, portanto,
Passo 3
Para determinar os pontos médios dos lados, lembramos que o ponto médio entre P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2) é ((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2). Aplicando a cada par de vértices:
Passo 4
Agora as medianas são os vetores de cada vértice até o ponto médio do lado oposto. Calculamos:
Portanto, a soma dos vetores medianas é o vetor nulo. Essa propriedade—que as três medianas de um triângulo somam o vetor zero—vale para qualquer triângulo, pois decorre da mesma média aritmética dos vértices.
Resposta
Baricentro: G=(tfrac16,1).
Pontos médios: MBC=(tfrac34,tfrac32), MCA=(tfrac12,tfrac12), MAB=(-tfrac34,1).
Vetores medianas: AMBC=(tfrac74,tfrac32), BMCA=(1,-tfrac32), CMAB=(-tfrac114,0), cuja soma é (0,0). Essa propriedade é válida em qualquer triângulo.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Jorge Delgado - Geometria Analítica - Jorge Delgado - Geometria Analítica- Vol1- Ed3ª Edição - Capítulo Vetores no Plano- Operações.Exercícios - Ex. 4