Sejam P=(1,0), Q=(2,4) e R=(3,3) pontos do plano. Determine os pontos S do plano de modo que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.
Sugestão: Observe que há três possíveis diagonais para o paralelogramo, P R, P Q ou Q R, cada uma delas fornece um possível ponto S.

Passo 1

Temos os pontos P=(1,0), Q=(2,4) e R=(3,3) e queremos achar todos os pontos S de modo que P, Q, R e S formem um paralelogramo. O conteúdo principal aqui é a propriedade de que, em um paralelogramo, as diagonais se cruzam no mesmo ponto médio. Vamos usar essa ideia considerando cada par de vértices como possível diagonal.

Passo 2

Considere a diagonal P–R. O ponto médio M dessa diagonal é dado por
M=P+R2 = l(1+32,0+32r) = (2,1,5)
Como M também é o ponto médio de Q–S, temos
M=Q+S2 implies S=2M-Q = (4,3)-(2,4) = (2,-1)
Então, para a diagonal PR, S₁=(2,-1).

Passo 3

Considere a diagonal P–Q. O ponto médio N dessa diagonal é
N=P+Q2 = l(1+22,0+42r) = (1,5,2)
Igualmente, N é o ponto médio de R–S, logo
N=R+S2 implies S=2N-R = (3,4)-(3,3) = (0,1)
Assim, para a diagonal PQ, S₂=(0,1).

Passo 4

Considere a diagonal Q–R. O ponto médio L dessa diagonal é
L=Q+R2 = l(2+32,4+32r) = (2,5,3,5)
Como L também é o ponto médio de P–S,
L=P+S2 implies S=2L-P = (5,7)-(1,0) = (4,7)
Logo, para a diagonal QR, S₃=(4,7).

Resposta

Os pontos S que formam um paralelogramo com P, Q e R são: (2,-1), (0,1) e (4,7).

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