Sejam
e
pontos do plano. Determine os pontos
do plano de modo que
e
sejam vértices de um paralelogramo.
Sugestão: Observe que há três possíveis diagonais para o paralelogramo,
ou
, cada uma delas fornece um possível ponto
.
Passo 1
Temos os pontos P=(1,0), Q=(2,4) e R=(3,3) e queremos achar todos os pontos S de modo que P, Q, R e S formem um paralelogramo. O conteúdo principal aqui é a propriedade de que, em um paralelogramo, as diagonais se cruzam no mesmo ponto médio. Vamos usar essa ideia considerando cada par de vértices como possível diagonal.
Passo 2
Considere a diagonal P–R. O ponto médio M dessa diagonal é dado por
Como M também é o ponto médio de Q–S, temos
Então, para a diagonal PR, S₁=(2,-1).
Passo 3
Considere a diagonal P–Q. O ponto médio N dessa diagonal é
Igualmente, N é o ponto médio de R–S, logo
Assim, para a diagonal PQ, S₂=(0,1).
Passo 4
Considere a diagonal Q–R. O ponto médio L dessa diagonal é
Como L também é o ponto médio de P–S,
Logo, para a diagonal QR, S₃=(4,7).
Resposta
Os pontos S que formam um paralelogramo com P, Q e R são: (2,-1), (0,1) e (4,7).