Solucione.
raiz2 x+1-raizx=1 Rearranjando, (1) raiz2 x+1=raizx+1.
Elevando ambos os lados de (1) ao quadrado, 2 x+1=x+2 raizx+1 cu z==
Elevando (2) ao quadrado, x^2=4 x; então x(x-4)=0 e x=0,4.
Prova. Para x=0, raiz2(0)+1-raiz0 ? 1,1=1. Para x=4, raiz2(4)+1-raiz4 ? 1,1=1.

Passo 1

A gente quer resolver a equação raiz2x+1-raizx=1. Isso cai em conteúdo de equações com radicais, onde a ideia é isolar uma raiz e usar a quadratura (elevar ao quadrado) para eliminar as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar um radical. Da equação raiz2x+1-raizx=1 segue
raiz2x+1=raizx+1
Agora elevamos os dois lados ao quadrado. Lembrando que (a+b)^2=a^2+2ab+b^2:
(raiz2x+1)^2=(raizx+1)^2
Que dá
2x+1 = x + 2raizx +1

Passo 3

A próxima etapa é isolar ainda mais para eliminar a raiz simples. Do resultado acima:
2x+1 = x+1+2raizx implies x = 2raizx
Agora elevamos de novo ao quadrado para tirar a raiz:
x^2 = 4x
Isto leva a
x(x-4)=0
Logo, as soluções candidatas são x=0 e x=4.

Passo 4

Como elevamos duas vezes ao quadrado, precisamos checar possíveis raízes extraviadas no original: para x=0,
raiz2cdot0+1-raiz0=1-0=1
OK. Para x=4,
raiz2cdot4+1-raiz4=raiz9-2=3-2=1
Também OK. Então as duas valem.

Resposta

As soluções da equação são x=0 e x=4.

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