A soma dos quadrados de dois números é 34 ; o primeiro número é igual ao dobro do segundo menos 1 . Determine os números.

Passo 1

O enunciado nos dá dois números x e y tais que
x^2 + y^2 = 34
e
x = 2y - 1
O conteúdo aqui é resolução de sistema por substituição e solução de equação quadrática.

Passo 2

Substituímos x = 2y - 1 na equação x^2 + y^2 = 34, obtendo
(2y - 1)^2 + y^2 = 34

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(2y - 1)^2 + y^2 = 4y^2 - 4y + 1 + y^2 = 5y^2 - 4y + 1,
logo a equação fica
5y^2 - 4y + 1 = 34 Longrightarrow 5y^2 - 4y - 33 = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em 5y^2 - 4y - 33 = 0:
De<a = (-4)^2 - 4cdot5cdot(-33) = 16 + 660 = 676,
y = 4 pm raiz6762cdot5 = 4 pm 2610,
portanto
y1 = 3010 = 3, y2 = -2210 = -115

Passo 5

Para cada valor de y, calculamos x = 2y - 1:
se y = 3,; x = 2cdot3 - 1 = 5;
se y = -115,; x = 2cdotl(-115r) - 1 = -225 - 1 = -275

Resposta

(x,y) = (5,3) ou l(x,yr) = l(-tfrac275, -tfrac115r).

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