O triplo do dígito da dezena de um certo número de dois dígitos é o quádruplo do dígito da unidade mais 2. A diferença entre o número dado e um novo número obtido pela inversão dos dígitos é o dobro da soma dos dígitos mais 2 . Encontre o número.
Passo 1
Vamos chamar de o dígito das dezenas e de o dígito das unidades do número de dois dígitos. Como é um número de dois dígitos, temos e .
Conteúdo: formação e solução de sistema de equações em inteiros.
Passo 2
Traduzimos as duas condições em equações:
“O triplo do dígito da dezena é o quádruplo do dígito da unidade mais 2”:
“A diferença entre o número dado e o número obtido pela inversão dos dígitos é o dobro da soma dos dígitos mais 2”:
No lado esquerdo isso é
Logo a segunda equação fica
Passo 3
Escrevendo o sistema completo:
Simplificando a segunda:
9x -9y -2x -2y = 2 ;Longrightarrow; 7x -11y = 2
Passo 4
Resolvendo por substituição ou eliminação. Da primeira equação temos
3x = 4y + 2 ;Longrightarrow; x = 4y + 23
Para x inteiro, 4y+2 deve ser múltiplo de 3, o que dá yequiv1pmod3, ou seja, yin1,4,7.
Passo 5
Testando y=1,4,7 em
7x-11y=2 com x=4y+23,
vemos que, em nenhum caso, x sai inteiro no intervalo de 1 a 9.
Passo 6
Concluímos que o sistema não admite solução inteira (x,y) com 1<= x<=9, 0<= y<=9.
Resposta
Não existe número de dois dígitos que satisfaça simultaneamente as duas condições dadas.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Murray Spiegel e Robert Moyer - Álgebra Superior - 2ª Edição - Capítulo 15.Problemas - Ex. 15.31.a