O triplo do dígito da dezena de um certo número de dois dígitos é o quádruplo do dígito da unidade mais 2. A diferença entre o número dado e um novo número obtido pela inversão dos dígitos é o dobro da soma dos dígitos mais 2 . Encontre o número.

Passo 1

Vamos chamar de x o dígito das dezenas e de y o dígito das unidades do número de dois dígitos. Como é um número de dois dígitos, temos 1<= x<=9 e 0<= y<=9.
Conteúdo: formação e solução de sistema de equações em inteiros.

Passo 2

Traduzimos as duas condições em equações:
  1. “O triplo do dígito da dezena é o quádruplo do dígito da unidade mais 2”:
3x = 4y + 2
  1. “A diferença entre o número dado e o número obtido pela inversão dos dígitos é o dobro da soma dos dígitos mais 2”:
(10x + y) - (10y + x) = 2,(x + y) + 2
No lado esquerdo isso é
10x + y -10y - x = 9x - 9y = 9,(x - y)
Logo a segunda equação fica
9,(x - y) = 2,(x + y) + 2

Passo 3

Escrevendo o sistema completo:
3x - 4y = 2, 9x -9y = 2x + 2y + 2
Simplificando a segunda:
9x -9y -2x -2y = 2 ;Longrightarrow; 7x -11y = 2

Passo 4

Resolvendo por substituição ou eliminação. Da primeira equação temos
3x = 4y + 2 ;Longrightarrow; x = 4y + 23
Para x inteiro, 4y+2 deve ser múltiplo de 3, o que dá yequiv1pmod3, ou seja, yin1,4,7.

Passo 5

Testando y=1,4,7 em
7x-11y=2 com x=4y+23,
vemos que, em nenhum caso, x sai inteiro no intervalo de 1 a 9.

Passo 6

Concluímos que o sistema não admite solução inteira (x,y) com 1<= x<=9, 0<= y<=9.

Resposta

Não existe número de dois dígitos que satisfaça simultaneamente as duas condições dadas.

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