19 Usa-se a técnica do carbono-14 para determinar a idade de espécimes arqueológicos ou geológi \cos. Este método baseia-se no fato de que o carbono- 14 , isótopo instável \left({ }^{14} \mathrm{C}\right) está presente no \mathrm{CO}_{2} na atmosfera. As plantas assimilam carbono da atmosfera; quando morrem o { }^{14} \mathrm{C} acumulado começa a decair, com uma meia-vida de aproximadamente 5.700 anos. Medindo-se a quantidade de { }^{14} \mathrm{C} que resta em um espécime, é possível determinar quando o organismo morreu. Suponha que um osso fóssil acuse 20 \% da quantidade de { }^{14} \mathrm{C} presente em um osso dos dias atuais. Dê uma aproximação da idade do osso fóssil.

Passo 1

O enunciado trata da datação por decaimento radioativo do isótopo {}^{14}\mathrm{C}, cuja meia-vida é de 5700 anos. Queremos estimar a idade de um fóssil que contém 20\% do {}^{14}\mathrm{C} original. Para resolver, usamos o modelo de decaimento exponencial e propriedades de logaritmos.

Passo 2

O decaimento do {}^{14}\mathrm{C} é dado pela lei
N(t)=N_0\left(\tfrac12\right)^{\tfrac{t}{5700}},
onde N_0 é a quantidade original e N(t) é a quantidade que resta após t anos. Aqui temos N(t)/N_0=0,20.

Passo 3

Igualando à fração restante, obtemos
\left(\tfrac12\right)^{\tfrac{t}{5700}}=0,20.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, vem
\tfrac{t}{5700}\,\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=\ln(0,20) \quad\Longrightarrow\quad t = 5700\;\frac{\ln(0,20)}{\ln\bigl(\tfrac12\bigr)}.

Passo 4

Calculando numericamente usando \ln(0,20)\approx -1,6094 e \ln(\tfrac12)\approx -0,6931, temos
t \approx 5700\;\frac{-1,6094}{-0,6931}\approx 5700\times2,322\approx13234\text{ anos}.

Resposta

Aproximadamente 1,3\times10^{4} anos.

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