Usando apenas o comando rank, determine qual dos seguintes sistemas lineares é compatível.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar a compatibilidade do sistema linear usando apenas o comando de posto (rank). O conteúdo é o Teorema de Rouché–Capelli, que diz que um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é compatível se, e somente se, \rank(A)=\rank([A|\mathbf{b}]).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz ampliada [A|\mathbf{b}]:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad [A|\mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3\\\\ 1 & 1 & 0 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \rank(A). Basta encontrar um menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas duas primeiras linhas e duas primeiras colunas é
\det\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} =1\cdot1 - 2\cdot1 = -1 \neq 0.
Logo \rank(A)\ge2. Como \det(A)=0, temos \rank(A)=2.

Passo 4

Calculamos \rank([A|\mathbf{b}]). Se houver algum menor 3\times3 não nulo na matriz ampliada, então \rank([A|\mathbf{b}])=3. Tomando as colunas 1, 2 e 4 de [A|\mathbf{b}], temos
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} =1\cdot\bigl(1\cdot3-3\cdot1\bigr) -2\cdot\bigl(1\cdot3-3\cdot2\bigr) +3\cdot\bigl(1\cdot1-1\cdot2\bigr) =0 +6 -3 =3 \neq 0.
Portanto \rank([A|\mathbf{b}])=3.

Passo 5

Como \rank(A)=2 e \rank([A|\mathbf{b}])=3, o sistema não satisfaz \rank(A)=\rank([A|\mathbf{b}]). Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

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