Usando apenas o comando rank, determine qual dos seguintes sistemas lineares é compatível. \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar a compatibilidade do sistema linear usando apenas o comando de posto (rank). O conteúdo é o Teorema de Rouché–Capelli, que diz que um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é compatível se, e somente se, \rank(A)=\rank([A|\mathbf{b}]).
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz ampliada [A|\mathbf{b}]:
Logo \rank(A)\ge2. Como \det(A)=0, temos \rank(A)=2.
Passo 4
Calculamos \rank([A|\mathbf{b}]). Se houver algum menor 3\times3 não nulo na matriz ampliada, então \rank([A|\mathbf{b}])=3. Tomando as colunas 1, 2 e 4 de [A|\mathbf{b}], temos
Como \rank(A)=2 e \rank([A|\mathbf{b}])=3, o sistema não satisfaz \rank(A)=\rank([A|\mathbf{b}]). Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema é incompatível.
Resposta
O sistema é incompatível (não possui solução).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 6.6. Exercícios com o Matlab - Ex. ML.5.b