Em alguns computadores, o cálculo de raiz[p]a é baseado no método de Newton. Estabeleça a fórmula de iteração do método para resolver x^p-a=0 e mostre que ela pode ser escrita na forma
xn+1=1p[(p-1) xn+axn^p-1], n >= 0

Passo 1

Beleza, nosso problema é usar o Método de Newton pra achar a raiz da equação
x^p - a = 0
Isso é conteúdo de Métodos Numéricos: a gente precisa montar xn+1 = 1pl[(p-1)xn + axn^p-1r] , calcular a derivada e aplicar a fórmula de iteração de Newton. O objetivo final é mostrar que

Passo 2

Antes de tudo, lembra da fórmula geral do Método de Newton para uma função xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn) :
Aqui a ideia é usar essa receita com .

Passo 3

Vamos achar a derivada de f(x) = x^p - a, . Se
f'(x) = p,x^p-1
então, por regra de potência,

Passo 4

Agora plugamos xn+1 = xn ;-;xn^p - ap,xn^,p-1 e na fórmula de Newton:

Passo 5

Fazendo a simplificação passo a passo:
  1. Escreve num só quociente:
xn+1 = p,xn^,p - (xn^p - a)p,xn^,p-1 = p,xn^p - xn^p + ap,xn^,p-1
  1. Junta os termos de p,xn^p - xn^p = (p-1),xn^p, :
xn+1 = (p-1),xn^p + ap,xn^,p-1
então
(p-1),xn^pp,xn^,p-1 = p-1p;xn, ap,xn^,p-1 = 1p;axn^,p-1
  1. Separa xn+1 = 1pl[(p-1)xn + axn^p-1r] :
Somando dá exatamente

Resposta

boxed xn+1 = 1pl[(p-1)xn + axn^p-1r], n>=0

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