A função f(x)=x e^-x-e^-3, x in R, possui duas raízes reais: alpha1 in[0.001,1] e alpha2 in[4,5]. Considere as funções phi1(x)=e^x-3 e phi2(x)=ln (x)+3.
A função phi1 pode ser usada para aproximar alpha2 pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função phi2 ? Justifique e faça três iterações do método.

Passo 1

Beleza, aqui temos uma função

que tem duas raízes reais, uma lá perto de e outra entre 4 e 5 (essa segunda a gente chama de ).
O assunto é “método das aproximações sucessivas” (ou ponto-fixo). Pra usar esse método, a gente define uma função tal que a raiz de seja um “ponto fixo” de , ou seja, .
As candidatas dadas são
e .
A primeira parte do exercício pede para a gente verificar, usando o teste da derivada, se cada garante convergência no intervalo . Depois a gente faz 3 iterações para a que convergir.

Passo 2

Teoria rápida:
Para garantir convergência no método de ponto-fixo num intervalo a gente precisa checar que
  1. leva em si mesmo (ou seja, para todo ), e
  2. existe tal que para todo .
    Se isso rolar, é uma contração e o método converge para a raiz.

Passo 3

Vamos a phi1'(x)=e^x-3 .
Derivada:
phi1'(x)=e^x-3in [e^1,e^2]approx[2.718,7.389]
No intervalo , varia de a , logo
Como lá em cima, não temos contração. Ou seja, NÃO garante convergência.

Passo 4

Agora phi2'(x)=1x .
Derivada:
1xinl[tfrac15,tfrac14r]=[0.2,0.25]
No intervalo ,
Aí sim . Temos, portanto, uma contração em e a iteração vai convergir para .

Passo 5

Vamos escolher um chute inicial (está no intervalo) e computar três iterações:
Definição de iteração: .

Resposta

  • NÃO garante convergência ( em ).
  • garante convergência ( em ).
  • Três iterações com :
    ,
    ,
    .

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