A função
, possui duas raízes reais:
e
. Considere as funções
e
.
A função
pode ser usada para aproximar
pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função
? Justifique e faça três iterações do método.
A função
Passo 1
Beleza, aqui temos uma função
que tem duas raízes reais, uma lá perto de e outra entre 4 e 5 (essa segunda a gente chama de
).
O assunto é “método das aproximações sucessivas” (ou ponto-fixo). Pra usar esse método, a gente define uma função tal que a raiz de
seja um “ponto fixo” de
, ou seja,
.
As candidatas dadas são
e
.
A primeira parte do exercício pede para a gente verificar, usando o teste da derivada, se cada garante convergência no intervalo
. Depois a gente faz 3 iterações para a que convergir.
que tem duas raízes reais, uma lá perto de
O assunto é “método das aproximações sucessivas” (ou ponto-fixo). Pra usar esse método, a gente define uma função
As candidatas dadas são
A primeira parte do exercício pede para a gente verificar, usando o teste da derivada, se cada
Passo 2
Teoria rápida:
Para garantir convergência no método de ponto-fixo num intervalo a gente precisa checar que
Para garantir convergência no método de ponto-fixo num intervalo
-
leva em si mesmo (ou seja, para todo ), e - existe
tal que para todo .
Se isso rolar,é uma contração e o método converge para a raiz.
Passo 3
Vamos a
.
Derivada:
Derivada:
No intervalo
,
varia de
a
, logo
Como
lá em cima, não temos contração. Ou seja,
NÃO garante convergência.
Passo 4
Agora
.
Derivada:
Derivada:
No intervalo
,
Aí sim
. Temos, portanto, uma contração em
e a iteração vai convergir para
.
Passo 5
Vamos escolher um chute inicial
(está no intervalo) e computar três iterações:
Definição de iteração: .
Definição de iteração:
Resposta
-
NÃO garante convergência ( em ). -
garante convergência ( em ). - Três iterações com
:
,
,
.