O valor de pi pode ser obtido por meio da resolução das seguintes equações: sin (x)=0 e cos (x)+1=0.
Aplique o método de Newton e o método de Newton Modificado, com x0=3 e precisão 10^-2 ou 4 iterações, em cada caso e compare os resultados obtidos. Avalie |f(xn)| a cada iteração.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer “extrair” o valor de π encontrando raízes de duas funções:
  1. f₁(x)=sin(x)=0 (raiz simples em x=π)
  2. f₂(x)=cos(x)+1=0 (raiz dupla em x=π)
A matéria é “Métodos de Newton para achar raízes”. A gente vai precisar de:
• Fórmula do Método de Newton:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
• No caso de raiz múltipla (multiplicidade m), usar o Método de Newton Modificado:
xn+1=xn-;m;f(xn)f'(xn)
• Derivadas de sin(x) e cos(x)+1.
• Critério de parada: ou no máximo 4 iterações.
A partir do próximo passo, partimos pro cálculo na prática.

Passo 2

Aplicando Newton em f₁(x)=sin(x):
  1. Derivada: xn+1=xn-sin(xn)cos(xn) .
  2. Iteração:
  1. Com :
    ,

Como , a gente para aqui (já atingiu a precisão).

Passo 3

Aplicando Newton Modificado em f₂(x)=cos(x)+1, que tem multiplicidade m=2:
  1. Derivada: xn+1=xn-2;cos(xn)+1-sin(xn) ;=;xn+2;cos(xn)+1sin(xn) .
  2. Iteração modificada:
  1. Com :



E aí também já bateu abaixo de , então paramos na primeira iteração.

Passo 4

Comparando:
  • Método de Newton padrão (sin x=0) deu com .
  • Método de Newton Modificado (cos x+1=0) deu com .
O modificado converge mais rápido à raiz dupla, dando um valor mais próximo de π e um resíduo muito menor.

Resposta

Newton (sin x=0): em 1 iteração, .
Newton Modificado (cos x+1=0): em 1 iteração, .

Exercícios relacionados