O valor de pode ser obtido por meio da resolução das seguintes equações: e .
Aplique o método de Newton e o método de Newton Modificado, com e precisão ou 4 iterações, em cada caso e compare os resultados obtidos. Avalie a cada iteração.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente quer “extrair” o valor de π encontrando raízes de duas funções:
f₁(x)=sin(x)=0 (raiz simples em x=π)
f₂(x)=cos(x)+1=0 (raiz dupla em x=π)
A matéria é “Métodos de Newton para achar raízes”. A gente vai precisar de:
• Fórmula do Método de Newton:
• No caso de raiz múltipla (multiplicidade m), usar o Método de Newton Modificado:
• Derivadas de sin(x) e cos(x)+1.
• Critério de parada: ou no máximo 4 iterações.
A partir do próximo passo, partimos pro cálculo na prática.
Passo 2
Aplicando Newton em f₁(x)=sin(x):
Derivada: xn+1=xn-sin(xn)cos(xn) ₁.
Iteração:
Com :
• ,
•
•
Como ₁, a gente para aqui (já atingiu a precisão).
Passo 3
Aplicando Newton Modificado em f₂(x)=cos(x)+1, que tem multiplicidade m=2: