Uma alimentação aquosa de A e B(400 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, 100 mmols de A / L e 200 mmols de B / L deve ser convertida a produto em um reator de mistura perfeita. A cinética da reação é presentada por:
A+B \rightarrow R ;\left(-r_{A}\right)=C_{A} . C_{B} \mathrm{~mol} / \mathrm{Lmin}.
Encontre o volume necessário de reator para converter 99,9% de A em produto.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o volume do reator de mistura perfeita necessário para converter 99{,}9\% do reagente A em produto, dado um escoamento contínuo alimentando o reator. Dados fornecidos (vou listar TODOS explicitamente):
  • Vazão volumétrica da alimentação: F=400\\ \mathrm{L/min}.
  • Concentração na alimentação de A: C_{A0}=100\\ \mathrm{mmol/L}.
  • Concentração na alimentação de B: C_{B0}=200\\ \mathrm{mmol/L}.
  • Cinética (taxa de consumo de A): -r_{A}=C_{A}\cdot C_{B} com unidades \mathrm{mol/(L\cdot min)}.
  • Conversão desejada de A: X_{A}=99{,}9\%=0{,}999.
O que se pergunta: o volume V do reator (em litros ou \mathrm{m^3}) necessário para atingir essa conversão.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar todas as concentrações nas mesmas unidades que aparecem na expressão da taxa. O enunciado deu concentrações em \mathrm{mmol/L}, mas a taxa está em \mathrm{mol/(L\cdot min)}. Então convertemos:
  • C_{A0}=100\\ \mathrm{mmol/L}=0{,}100\\ \mathrm{mol/L} porque 1\\ \mathrm{mmol}=10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
  • C_{B0}=200\\ \mathrm{mmol/L}=0{,}200\\ \mathrm{mol/L}.
Importante: sempre verificar unidades antes de aplicar fórmulas. Aqui já ajustamos para \mathrm{mol/L}.

Passo 3

Definir a concentração de saída de A usando a definição de conversão X_{A}. A conversão é a fração de A consumida:
X_{A}=\frac{C_{A0}-C_{A}}{C_{A0}}.
Queremos X_{A}=0{,}999. Então isolamos C_{A}:
C_{A}=C_{A0}\,(1-X_{A}).
Substituindo números:
C_{A}=0{,}100\cdot(1-0{,}999)=0{,}100\cdot 0{,}001=0{,}000100\\ \mathrm{mol/L}.
Ou seja, na saída resta muito pouco A: C_{A}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

Pela estequiometria A+B\rightarrow R (1:1), o consumo de B por litro é igual ao consumo de A por litro. Logo a concentração de B na saída é:
C_{B}=C_{B0}-(C_{A0}-C_{A}).
Substituindo:
C_{B}=0{,}200-(0{,}100-0{,}000100)=0{,}200-0{,}099900=0{,}100100\\ \mathrm{mol/L}.
Ou seja, C_{B}\approx 0{,}1001\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 5

Agora apresento a equação de projeto do reator contínuo, tipo CSTR (mistura perfeita), em regime estacionário para o componente A. A balanço material estacionário (sem acumulação) é:
\text{fluxo molar de entrada} - \text{fluxo molar de saída} + \text{geração interna} = 0.íçã
Em termos de A:
F\,C_{A0}-F\,C_{A}+V\,r_{A}=0.
Aqui r_{A} é a taxa de formação (geração) de A por volume; como A é consumido, r_{A} será negativo. Reorganizando para usar a taxa de consumo positiva (-r_A):
F\,(C_{A0}-C_{A})=V\;(-r_{A}).
Pela cinética dada temos -r_{A}=C_{A}\,C_{B}. Portanto a equação de projeto fica:
V=\frac{F\,(C_{A0}-C_{A})}{C_{A}\,C_{B}}.
Expliquei cada termo: F em \mathrm{L/min}, concentrações em \mathrm{mol/L}, C_A,C_B são as concentrações na saída (estado estacionário) e V dará em \mathrm{L}.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos que já calculamos:
  • F=400\\ \mathrm{L/min}.
  • C_{A0}-C_{A}=0{,}100-0{,}000100=0{,}099900\\ \mathrm{mol/L}.
  • C_{A}\,C_{B}=0{,}000100\cdot 0{,}100100=0{,}00001001\\ \mathrm{(mol/L)}^{2}.
Agora calculamos V:
V=\frac{400\cdot 0{,}099900}{0{,}00001001}\\ \mathrm{L}.
Calcule passo a passo:
  • Numerador: 400\cdot 0{,}099900=39{,}96 (unidade: \mathrm{mol/min}).
  • Denominador: 0{,}00001001.
Dividindo:
V=\frac{39{,}96}{0{,}00001001}\approx 3{,}99\times10^{6}\\ \mathrm{L}.
Para interpretar em metros cúbicos (mais usual em grandes volumes), lembrando que 1\\ \mathrm{m^{3}}=1000\\ \mathrm{L}:
V\approx\frac{3{,}99\times10^{6}}{1000}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 3{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 3{,}992\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.
(Arredondei para 3 algarismos significativos; o cálculo exato dá aproximadamente 3{,}992\times10^{6}\\ \mathrm{L} ou 3{,}992\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.)

Passo 7

Interpretação e comentário prático rápido (para te animar): o volume exigido é enorme porque pedir conversão de 99{,}9\% quando as concentrações residuais de A ficam muito pequenas faz a taxa (proporcional a C_A) ficar muito pequena, exigindo muito volume para consumir a última fração. Em prova, se o enunciado pedir conversões muito altas com reação de segunda ordem na presença de excesso limitado, espere volumes grandes — e vale conferir se faz sentido processar em série (vários CSTRs) ou usar um reator tubular (PFR) dependendo do caso.

Resposta

V\approx 3{,}99\times10^{6}\\ \mathrm{L}\\ \left(\approx 3{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}\right)

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