Dois CSTRs de 50L e dois PFRs de 50L estão disponíveis para processar a reação, em fase líquida do tipo: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}. A alimentação consiste em 5,8 \mathrm{~L} / \mathrm{min} de uma corrente, contendo A na concentração de 3,9 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, a qual será dividida em vazões iguais que alimentarão um sistema de reatores em paralelo. Quais reatores, entre os disponíveis, são suficientes para compor esse sistema, considerando uma conversão final de no mínimo 50 \% ? (Dados: k=0,045 \mathrm{~min}^{-}). (Resposta: dois PRFs).

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha, entre os reatores disponíveis, quais são suficientes para obter uma conversão final de pelo menos 50\% quando a alimentação é dividida em vazões iguais e cada corrente alimenta um reator em paralelo. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Volumes disponíveis: } 2\\ \text{CSTRs de }50\\ \mathrm{L}\\ \text{e}\\\ 2\\ \text{PFRs de }50\\ \mathrm{L}.\\\ &\text{Vazão total de alimentação: } Q_{tot}=5,8\\ \mathrm{L/min}.\\\ &\text{Concentração de alimentação: } C_{A0}=3,9\\ \mathrm{mol/L}.\\\ &\text{Reação: } \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}\\ \text{com cinética de primeira ordem e constante } k=0,045\\ \mathrm{min^{-1}}.\\\ &\text{A alimentação será dividida em vazões iguais entre os reatores em paralelo.}\\\ &\text{Meta: conversão } X\ge 0,50\\ (\text{50\%}).\\\ \end{aligned}íãçãçãçãçãéçãáõã
Observação: a pergunta final é qual tipo(s) de reator entre os disponíveis são suficientes (considerando a divisão igual da vazão). Não há figura faltando — todos os dados necessários estão acima.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática, passo a passo):
Definições básicas:
X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}
é a conversão (fração de A reagida). A vazão volumétrica é Q e o volume do reator é V. O tempo de residência (tempo médio que o fluido fica no reator) é
\tau=\frac{V}{Q}.
Equações de projeto para reação de primeira ordem -r_A=k C_A:
  • Para um PFR (Plug Flow Reactor), a equação integrada dá:
\tau=\frac{1}{k}\ln\frac{1}{1-X}.
Derivação rápida (sem pular passos importantes): no PFR fazemos balanço diferencial
\frac{dF_A}{dV} = r_A,
com F_A=Q C_A e r_A=-k C_A. Então
Q\frac{dC_A}{dV}=-k C_A \quad\Rightarrow\quad \frac{dC_A}{C_A}=-\frac{k}{Q}\,dV.
Integrando de C_{A0} a C_A e de 0 a V resulta em -\ln(1-X)=k\tau, que rearranjamos como acima.
  • Para um CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor) em regime permanente, o balanço em A dá:
Q C_{A0} - Q C_A + V r_A = 0.
Substituindo r_A=-k C_A e isolando X obtemos:
\frac{X}{1-X}=k\tau \quad\Rightarrow\quad X=\frac{k\tau}{1+k\tau}.
Novamente, explicando: fluxo de A reagido por alimentação é Q C_{A0}X; taxa de reação total é k V C_A = k V C_{A0}(1-X); igualando dá a relação usada.
Essas duas fórmulas permitem calcular X a partir de \tau (ou vice-versa).

Passo 3

Calcular o tempo de residência quando um único reator de 50\\ \mathrm{L} recebe a vazão total (situação de referência, para ver limites):
\tau_{1}=\frac{V}{Q_{tot}}=\frac{50}{5,8}\\ \mathrm{min} = 8,6207\\ \mathrm{min}\\ (\text{aprox.}).
Agora calculamos a conversão nesse reator se for PFR e se for CSTR.
Para PFR:
X_{\mathrm{PFR,1}}=1-\exp(-k\tau_1)=1-\exp\big(-0,045\cdot 8,6207\big).
Calculemos o expoente:
0,045\cdot 8,6207 = 0,388.
Logo
X_{\mathrm{PFR,1}}=1-\exp(-0,388)=1-0,6785\approx 0,3215 \;(\text{ou }32,15\%).
Para CSTR:
X_{\mathrm{CSTR,1}}=\frac{k\tau_1}{1+k\tau_1}=\frac{0,388}{1+0,388}=\frac{0,388}{1,388}=0,2796\;(\text{ou }27,96\%).
Interpretação: com apenas um reator de 50\\ \mathrm{L} recebendo toda a vazão, nenhum dos tipos atinge 50\%. Então precisamos dividir a corrente (como o enunciado manda) e testar o caso de dois reatores em paralelo.

Passo 4

Quando a vazão total é dividida em duas correntes iguais (dois reatores em paralelo), cada reator recebe
Q_{par}=\frac{Q_{tot}}{2}=\frac{5,8}{2}=2,9\\ \mathrm{L/min}.
O tempo de residência em cada reator de 50\\ \mathrm{L} passa a ser
\tau_{2}=\frac{V}{Q_{par}}=\frac{50}{2,9}\\ \mathrm{min}=17,2414\\ \mathrm{min}\\ (\text{aprox.}).
Agora calculemos as conversões em cada reator (cada ramo tem a mesma conversão; quando as saídas são recombinadas a conversão final é a média ponderada — aqui idêntica por vazões iguais).
Para PFR em cada ramo:
X_{\mathrm{PFR,2}}=1-\exp(-k\tau_2)=1-\exp\big(-0,045\cdot 17,2414\big).
Calculemos o expoente:
0,045\cdot 17,2414 = 0,776.
Então
X_{\mathrm{PFR,2}}=1-\exp(-0,776)=1-0,4608\approx 0,5392\;(\text{ou }53,92\%).
Isso já é maior que 50\%.
Para CSTR em cada ramo:
X_{\mathrm{CSTR,2}}=\frac{k\tau_2}{1+k\tau_2}=\frac{0,776}{1+0,776}=\frac{0,776}{1,776}=0,4371\;(\text{ou }43,71\%).
Isso é menor que 50\%.
Conclusão intercalar: com dois reatores em paralelo de 50\\ \mathrm{L} cada, apenas se os reatores forem PFRs a conversão por ramo (e portanto a conversão final combinada) atinge o mínimo de 50\%. Dois CSTRs em paralelo não são suficientes.

Passo 5

Verificação final de interpretação: o enunciado exigia que a alimentação fosse dividida em vazões iguais entre reatores em paralelo. Testamos a situação com dois reatores (pois só há dois reatores de cada tipo disponíveis) e demonstramos numericamente que:
  • Dois PFRs de 50\\ \mathrm{L} em paralelo fornecem X\approx 53,9\% \ge 50\%.
  • Dois CSTRs de 50\\ \mathrm{L} em paralelo fornecem X\approx 43,7\% < 50\%.
Portanto a escolha correta é a indicada na resposta do enunciado.

Resposta

Dois PFRs de 50\\ \mathrm{L} em paralelo.

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