Nas alíneas abaixo, obtenha as formulações numéricas para a EDO considerada e construa os sistemas de equações na forma matricial para cinco nós no interior do domínio:
\begin{gathered} \alpha(x) \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}-u \frac{d \varphi}{d x}=0 \\ \varphi(x=0)=\varphi_{W} \\ \left(\frac{d \varphi}{d x}\right)_{\left(x=L_{x}\right)}=0 \end{gathered}
onde u é constante e positiva (utilize aproximação recuada para as derivadas primeiras).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se: (a) obter a formulação numérica (diferenças finitas) da EDO \alpha(x)\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}-u\frac{d\varphi}{dx}=0com as condições de contorno \varphi(0)=\varphi_{W},\qquad \left(\frac{d\varphi}{dx}\right)_{x=L_{x}}=0,usando aproximação recuada para a derivada primeira; e (b) construir o sistema matricial para cinco nós no interior do domínio.
  • Dados importantes extraídos do enunciado: u>0\\ \text{(constante)},\qquad \alpha=\alpha(x)\\ \text{(pode variar com }x\text{)}.
  • Condições para a discretização que vamos adotar (decididas para atender ao enunciado): vamos usar uma malha com cinco nós interiores (ou seja, cinco incógnitas), índices i=1,\dots,5. Os nós das fronteiras são i=0 em x=0 e i=6 em x=L_{x}.

Passo 2

Definição da malha e notação discreta.
  • Dividimos o intervalo [0,L_{x}] em 6 subintervalos (pois há 5 nós interiores + 2 fronteiras), então o passo é h=\frac{L_{x}}{6}.
  • As posições dos nós são x_{i}=i\,h,\qquad i=0,1,\dots,6.
  • Denotamos \varphi_{i} a aproximação de \varphi(x_{i}) e \alpha_{i}=\alpha(x_{i}). As incógnitas do sistema serão \varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}.
  • Condições de contorno em notação discreta: \varphi_{0}=\varphi_{W}\quad\text{(conhecida)},e a condição de Neumann no extremo direito será aplicada abaixo para eliminar \varphi_{6}.

Passo 3

Aproximações por diferenças finitas (ensinando o básico).
  • Aproximação central para a segunda derivada em x_{i}: \frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}\Big|_{x_{i}}\approx\frac{\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}}{h^{2}}.Explicação: a segunda derivada mede curvatura; a fórmula acima usa os valores nos nós adjacentes e tem erro da ordem de h^{2}.
  • Aproximação recuada (backward) para a primeira derivada em x_{i} (conforme enunciado): \frac{d\varphi}{dx}\Big|_{x_{i}}\approx\frac{\varphi_{i}-\varphi_{i-1}}{h}.Explicação: diferença recuada usa o ponto atual e o anterior; é consistente e simples, e é o requisito do problema.
  • Observação sobre \alpha(x): como \alpha pode variar com x, vamos avaliar \alpha no nó x_{i} e denotá-la por \alpha_{i}. (Outra opção mais refinada seria discretizar na forma de fluxo (\alpha\varphi')', mas o enunciado não exigiu isso; adotamos a forma direta \alpha_{i}\varphi''.)

Passo 4

Aplicar as diferenças finitas à EDO em um nó interior genérico i.
  • Substituindo as aproximações na EDO em x_{i}: \alpha_{i}\frac{\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}}{h^{2}}-u\frac{\varphi_{i}-\varphi_{i-1}}{h}=0.
  • Multiplicando toda a equação por h^{2} (para eliminar denominadores): \alpha_{i}\big(\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}\big)-u\,h\big(\varphi_{i}-\varphi_{i-1}\big)=0.
  • Agora expandimos e recolhemos coeficientes por \varphi_{i-1},\varphi_{i},\varphi_{i+1}:
    • Coeficiente de \varphi_{i-1}: \alpha_{i}+u\,h (porque vem de \alpha_{i}\cdot\varphi_{i-1} e de +u h\cdot\varphi_{i-1}).
    • Coeficiente de \varphi_{i}: -2\alpha_{i}-u\,h.
    • Coeficiente de \varphi_{i+1}: \alpha_{i}.
  • Portanto a equação discreta em i fica (\alpha_{i}+u\,h)\varphi_{i-1}+(-2\alpha_{i}-u\,h)\varphi_{i}+\alpha_{i}\varphi_{i+1}=0.

Passo 5

Interpretação da equação discreta e notação compacta.
  • Reescrevendo de maneira padrão: a_{i,i-1}\varphi_{i-1}+a_{i,i}\varphi_{i}+a_{i,i+1}\varphi_{i+1}=0,com a_{i,i-1}=\alpha_{i}+u\,h,\qquad a_{i,i}=-2\alpha_{i}-u\,h,\qquad a_{i,i+1}=\alpha_{i}.
  • Lembre que aqui \alpha_{i}=\alpha(x_{i}) e h=L_{x}/6.

Passo 6

Tratar as condições de contorno discretas e montar os termos de contorno no lado direito.
  • Escrevemos as equações para i=1,\dots,5. Para i=1 o termo \varphi_{0}=\varphi_{W} é conhecido, então movemos esse termo para o lado direito: (\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{0}+(-2\alpha_{1}-u\,h)\varphi_{1}+\alpha_{1}\varphi_{2}=0
\Rightarrow (-2\alpha_{1}-u\,h)\varphi_{1}+\alpha_{1}\varphi_{2} = -(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{W}.
Assim o primeiro elemento do vetor fonte é b_{1}=-(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{W}.
  • Para o nó do extremo direito interior i=5 devemos usar a condição de Neumann \varphi'(L_{x})=0. Aproximação por diferença recuada na fronteira direita: \frac{\varphi_{6}-\varphi_{5}}{h}=0\quad\Rightarrow\quad \varphi_{6}=\varphi_{5}.Substituímos \varphi_{6}=\varphi_{5} na equação discreta para i=5. A equação genérica para i=5 antes da substituição seria (\alpha_{5}+u\,h)\varphi_{4}+(-2\alpha_{5}-u\,h)\varphi_{5}+\alpha_{5}\varphi_{6}=0.Substituindo \varphi_{6}=\varphi_{5} obtemos (\alpha_{5}+u\,h)\varphi_{4}+(-2\alpha_{5}-u\,h+\alpha_{5})\varphi_{5}=0,ou seja (\alpha_{5}+u\,h)\varphi_{4}+(-\alpha_{5}-u\,h)\varphi_{5}=0.Aqui b_{5}=0 (nenhum termo conhecido do lado direito para i=5).

Passo 7

Montagem explícita do sistema matricial A\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{b} para as cinco incógnitas.
  • Denotando \boldsymbol{\varphi}=[\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}]^{T} e \mathbf{b}=[b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}]^{T}, os termos são:
    • b_{1}=-(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{W}.
    • b_{2}=b_{3}=b_{4}=b_{5}=0.
  • A matriz A é tridiagonal com linhas (i=1…5):
    • Para i=1: a_{1,1}=-2\alpha_{1}-u\,h,\quad a_{1,2}=\alpha_{1}.
    • Para i=2,3,4: a_{i,i-1}=\alpha_{i}+u\,h,\quad a_{i,i}=-2\alpha_{i}-u\,h,\quad a_{i,i+1}=\alpha_{i}.
    • Para i=5 (após usar Neumann \varphi_{6}=\varphi_{5}): a_{5,4}=\alpha_{5}+u\,h,\quad a_{5,5}=-\alpha_{5}-u\,h.
  • Escrevendo a matriz 5×5 de forma explícita (cada entrada em termos de \alpha_{i}, u e h):
A= \begin{pmatrix} -2\alpha_{1}-u\,h & \alpha_{1} & 0 & 0 & 0\\[4pt] \alpha_{2}+u\,h & -2\alpha_{2}-u\,h & \alpha_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \alpha_{3}+u\,h & -2\alpha_{3}-u\,h & \alpha_{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \alpha_{4}+u\,h & -2\alpha_{4}-u\,h & \alpha_{4}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \alpha_{5}+u\,h & -\alpha_{5}-u\,h \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} -(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{W}\\[4pt] 0\\[4pt] 0\\[4pt] 0\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Resumo final das fórmulas úteis para implementação e observações.
  • Passo da malha: h=\frac{L_{x}}{6},\qquad x_{i}=i\,h,\qquad \alpha_{i}=\alpha(x_{i}).
  • Equação discreta geral (para i=1,\dots,5, lembrando que para i=1 \varphi_{0}=\varphi_{W} e para i=5 usamos \varphi_{6}=\varphi_{5}): (\alpha_{i}+u\,h)\varphi_{i-1}+(-2\alpha_{i}-u\,h)\varphi_{i}+\alpha_{i}\varphi_{i+1}=0.
  • Sistema linear a resolver numericamente: A\,\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{b},com A e \mathbf{b} dados explicitamente no passo anterior.

Resposta

\text{Formulação discreta (em }x_{i}\text{):}\qquad \alpha_{i}\frac{\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}}{h^{2}}-u\frac{\varphi_{i}-\varphi_{i-1}}{h}=0çã
\text{o que equivale a}\qquad (\alpha_{i}+u\,h)\varphi_{i-1}+(-2\alpha_{i}-u\,h)\varphi_{i}+\alpha_{i}\varphi_{i+1}=0,\quad i=1,\dots,5,
\text{com }h=\frac{L_{x}}{6},\\ \alpha_{i}=\alpha(x_{i}).
\text{Sistema matricial }A\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{b}\text{ (5 nós interiores):}ó
A= \begin{pmatrix} -2\alpha_{1}-u\,h & \alpha_{1} & 0 & 0 & 0\\[4pt] \alpha_{2}+u\,h & -2\alpha_{2}-u\,h & \alpha_{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & \alpha_{3}+u\,h & -2\alpha_{3}-u\,h & \alpha_{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \alpha_{4}+u\,h & -2\alpha_{4}-u\,h & \alpha_{4}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \alpha_{5}+u\,h & -\alpha_{5}-u\,h \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} -(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{W}\\[4pt] 0\\[4pt] 0\\[4pt] 0\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.]

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