Nas alíneas abaixo, obtenha as formulações numéricas para a EDO considerada e construa os sistemas de equações na forma matricial para cinco nós no interior do domínio: \begin{gathered}
\alpha(x) \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}-u \frac{d \varphi}{d x}=0 \\
\varphi(x=0)=\varphi_{W} \\
\left(\frac{d \varphi}{d x}\right)_{\left(x=L_{x}\right)}=0
\end{gathered}
onde u é constante e positiva (utilize aproximação recuada para as derivadas primeiras).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
Pede-se: (a) obter a formulação numérica (diferenças finitas) da EDO\alpha(x)\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}-u\frac{d\varphi}{dx}=0com as condições de contorno\varphi(0)=\varphi_{W},\qquad \left(\frac{d\varphi}{dx}\right)_{x=L_{x}}=0,usando aproximação recuada para a derivada primeira; e (b) construir o sistema matricial para cinco nós no interior do domínio.
Dados importantes extraídos do enunciado:u>0\\ \text{(constante)},\qquad \alpha=\alpha(x)\\ \text{(pode variar com }x\text{)}.
Condições para a discretização que vamos adotar (decididas para atender ao enunciado): vamos usar uma malha com cinco nós interiores (ou seja, cinco incógnitas), índices i=1,\dots,5. Os nós das fronteiras são i=0 em x=0 e i=6 em x=L_{x}.
Passo 2
Definição da malha e notação discreta.
Dividimos o intervalo [0,L_{x}] em 6 subintervalos (pois há 5 nós interiores + 2 fronteiras), então o passo éh=\frac{L_{x}}{6}.
As posições dos nós sãox_{i}=i\,h,\qquad i=0,1,\dots,6.
Denotamos \varphi_{i} a aproximação de \varphi(x_{i}) e \alpha_{i}=\alpha(x_{i}). As incógnitas do sistema serão\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}.
Condições de contorno em notação discreta:\varphi_{0}=\varphi_{W}\quad\text{(conhecida)},e a condição de Neumann no extremo direito será aplicada abaixo para eliminar \varphi_{6}.
Passo 3
Aproximações por diferenças finitas (ensinando o básico).
Aproximação central para a segunda derivada em x_{i}:\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}\Big|_{x_{i}}\approx\frac{\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}}{h^{2}}.Explicação: a segunda derivada mede curvatura; a fórmula acima usa os valores nos nós adjacentes e tem erro da ordem de h^{2}.
Aproximação recuada (backward) para a primeira derivada em x_{i} (conforme enunciado):\frac{d\varphi}{dx}\Big|_{x_{i}}\approx\frac{\varphi_{i}-\varphi_{i-1}}{h}.Explicação: diferença recuada usa o ponto atual e o anterior; é consistente e simples, e é o requisito do problema.
Observação sobre \alpha(x): como \alpha pode variar com x, vamos avaliar \alpha no nó x_{i} e denotá-la por \alpha_{i}. (Outra opção mais refinada seria discretizar na forma de fluxo (\alpha\varphi')', mas o enunciado não exigiu isso; adotamos a forma direta \alpha_{i}\varphi''.)
Passo 4
Aplicar as diferenças finitas à EDO em um nó interior genérico i.
Substituindo as aproximações na EDO em x_{i}:\alpha_{i}\frac{\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}}{h^{2}}-u\frac{\varphi_{i}-\varphi_{i-1}}{h}=0.
Multiplicando toda a equação por h^{2} (para eliminar denominadores):\alpha_{i}\big(\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}\big)-u\,h\big(\varphi_{i}-\varphi_{i-1}\big)=0.
Agora expandimos e recolhemos coeficientes por \varphi_{i-1},\varphi_{i},\varphi_{i+1}:
Coeficiente de \varphi_{i-1}: \alpha_{i}+u\,h (porque vem de \alpha_{i}\cdot\varphi_{i-1} e de +u h\cdot\varphi_{i-1}).
Coeficiente de \varphi_{i}: -2\alpha_{i}-u\,h.
Coeficiente de \varphi_{i+1}: \alpha_{i}.
Portanto a equação discreta em i fica(\alpha_{i}+u\,h)\varphi_{i-1}+(-2\alpha_{i}-u\,h)\varphi_{i}+\alpha_{i}\varphi_{i+1}=0.
Passo 5
Interpretação da equação discreta e notação compacta.
Reescrevendo de maneira padrão:a_{i,i-1}\varphi_{i-1}+a_{i,i}\varphi_{i}+a_{i,i+1}\varphi_{i+1}=0,coma_{i,i-1}=\alpha_{i}+u\,h,\qquad a_{i,i}=-2\alpha_{i}-u\,h,\qquad a_{i,i+1}=\alpha_{i}.
Lembre que aqui \alpha_{i}=\alpha(x_{i}) e h=L_{x}/6.
Passo 6
Tratar as condições de contorno discretas e montar os termos de contorno no lado direito.
Escrevemos as equações para i=1,\dots,5. Para i=1 o termo \varphi_{0}=\varphi_{W} é conhecido, então movemos esse termo para o lado direito:(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{0}+(-2\alpha_{1}-u\,h)\varphi_{1}+\alpha_{1}\varphi_{2}=0
Assim o primeiro elemento do vetor fonte é b_{1}=-(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{W}.
Para o nó do extremo direito interior i=5 devemos usar a condição de Neumann \varphi'(L_{x})=0. Aproximação por diferença recuada na fronteira direita:\frac{\varphi_{6}-\varphi_{5}}{h}=0\quad\Rightarrow\quad \varphi_{6}=\varphi_{5}.Substituímos \varphi_{6}=\varphi_{5} na equação discreta para i=5. A equação genérica para i=5 antes da substituição seria(\alpha_{5}+u\,h)\varphi_{4}+(-2\alpha_{5}-u\,h)\varphi_{5}+\alpha_{5}\varphi_{6}=0.Substituindo \varphi_{6}=\varphi_{5} obtemos(\alpha_{5}+u\,h)\varphi_{4}+(-2\alpha_{5}-u\,h+\alpha_{5})\varphi_{5}=0,ou seja(\alpha_{5}+u\,h)\varphi_{4}+(-\alpha_{5}-u\,h)\varphi_{5}=0.Aqui b_{5}=0 (nenhum termo conhecido do lado direito para i=5).
Passo 7
Montagem explícita do sistema matricial A\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{b} para as cinco incógnitas.
Denotando \boldsymbol{\varphi}=[\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}]^{T} e \mathbf{b}=[b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}]^{T}, os termos são:
b_{1}=-(\alpha_{1}+u\,h)\varphi_{W}.
b_{2}=b_{3}=b_{4}=b_{5}=0.
A matriz A é tridiagonal com linhas (i=1…5):
Para i=1:a_{1,1}=-2\alpha_{1}-u\,h,\quad a_{1,2}=\alpha_{1}.
Para i=2,3,4:a_{i,i-1}=\alpha_{i}+u\,h,\quad a_{i,i}=-2\alpha_{i}-u\,h,\quad a_{i,i+1}=\alpha_{i}.
Para i=5 (após usar Neumann \varphi_{6}=\varphi_{5}):a_{5,4}=\alpha_{5}+u\,h,\quad a_{5,5}=-\alpha_{5}-u\,h.
Escrevendo a matriz 5×5 de forma explícita (cada entrada em termos de \alpha_{i}, u e h):
Resumo final das fórmulas úteis para implementação e observações.
Passo da malha:h=\frac{L_{x}}{6},\qquad x_{i}=i\,h,\qquad \alpha_{i}=\alpha(x_{i}).
Equação discreta geral (para i=1,\dots,5, lembrando que para i=1\varphi_{0}=\varphi_{W} e para i=5 usamos \varphi_{6}=\varphi_{5}):(\alpha_{i}+u\,h)\varphi_{i-1}+(-2\alpha_{i}-u\,h)\varphi_{i}+\alpha_{i}\varphi_{i+1}=0.
Sistema linear a resolver numericamente:A\,\boldsymbol{\varphi}=\mathbf{b},com A e \mathbf{b} dados explicitamente no passo anterior.
Resposta
\text{Formulação discreta (em }x_{i}\text{):}\qquad \alpha_{i}\frac{\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}}{h^{2}}-u\frac{\varphi_{i}-\varphi_{i-1}}{h}=0çã
\text{o que equivale a}\qquad (\alpha_{i}+u\,h)\varphi_{i-1}+(-2\alpha_{i}-u\,h)\varphi_{i}+\alpha_{i}\varphi_{i+1}=0,\quad i=1,\dots,5,