Esboce o conjunto de pontos que determinados pelas seguintes condições:
|z-1+i|=1,

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o conjunto de pontos do plano complexo que satisfazem a condição |z-1+i|=1.\n
Informações dadas:
  • A condição é uma equação envolvendo o módulo (valor absoluto) de um número complexo.
  • Não há outras restrições; o conjunto pedido é o lugar geométrico (locus) dos pontos z que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos representar o número complexo z em coordenadas cartesianas para trabalhar com ele de forma concreta. Escrevemos
z = x + i y,
onde x e y são, respectivamente, as coordenadas reais e imaginárias do ponto z no plano complexo. Aqui x e y são números reais.

Passo 3

Reescrevemos a expressão dentro do módulo de forma a identificar um centro:
z - 1 + i = z - (1 - i).
Isto significa que estamos tomando a diferença entre z e o número complexo 1 - i. Em coordenadas, 1 - i corresponde ao ponto com coordenadas (1,-1) no plano (x,y).

Passo 4

Agora aplicamos a definição do módulo (distância) de um número complexo. Para um complexo w = u + iv temos |w| = \sqrt{u^2+v^2}. No nosso caso,
z-(1-i) = (x-1) + i(y+1),
portanto
|z-(1-i)| = \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}.
A condição dada |z-1+i|=1 fica então
\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} = 1.

Passo 5

Elevando os dois lados ao quadrado (isso é permitido porque ambos os lados são não-negativos) obtemos a equação padrão de uma circunferência:
(x-1)^2 + (y+1)^2 = 1^2.
Essa é a equação de uma circunferência de centro em (1,-1) e raio 1.

Passo 6

Para entender e esboçar a circunferência, podemos anotar pontos-chave obtidos da equação:
  • ponto à direita (maior x): (2,-1) corresponde a z = 2 - i;
  • ponto à esquerda (menor x): (0,-1) corresponde a z = 0 - i = -i;
  • ponto acima (maior y): (1,0) corresponde a z = 1 + 0i = 1;
  • ponto abaixo (menor y): (1,-2) corresponde a z = 1 - 2i.
    Outra forma útil de representar todos os pontos é a parametrização
z(t) = 1 - i + e^{it},\quad t\in[0,2\pi),
pois e^{it} descreve uma circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 7

Instruções simples para esboçar no papel:
  1. desenhe o plano com eixos x (real) e y (imaginário);\n
  2. marque o centro em (1,-1) (ou seja, uma unidade à direita do eixo y e uma unidade abaixo do eixo x);\n
  3. trace uma circunferência de raio 1 ao redor desse centro;\n
  4. marque os quatro pontos cardeais listados no Passo 6 para guiar o desenho.

Resposta

Circunferência de centro 1-i (coordenadas (1,-1)) e raio 1.

Exercícios relacionados