Esboce o conjunto de pontos que determinados pelas seguintes condições:
,
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o conjunto de pontos do plano complexo que satisfazem a condição
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A condição é uma equação envolvendo o módulo (valor absoluto) de um número complexo.
- Não há outras restrições; o conjunto pedido é o lugar geométrico (locus) dos pontos
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos representar o número complexo
em coordenadas cartesianas para trabalhar com ele de forma concreta. Escrevemos
onde
e
são, respectivamente, as coordenadas reais e imaginárias do ponto
no plano complexo. Aqui
e
são números reais.
Passo 3
Reescrevemos a expressão dentro do módulo de forma a identificar um centro:
Isto significa que estamos tomando a diferença entre
e o número complexo
. Em coordenadas,
corresponde ao ponto com coordenadas
no plano
.
Passo 4
Agora aplicamos a definição do módulo (distância) de um número complexo. Para um complexo
temos
. No nosso caso,
portanto
A condição dada
fica então
Passo 5
Elevando os dois lados ao quadrado (isso é permitido porque ambos os lados são não-negativos) obtemos a equação padrão de uma circunferência:
Essa é a equação de uma circunferência de centro em
e raio
.
Passo 6
Para entender e esboçar a circunferência, podemos anotar pontos-chave obtidos da equação:
- ponto à direita (maior
): corresponde a ; - ponto à esquerda (menor
): corresponde a ; - ponto acima (maior
): corresponde a ; - ponto abaixo (menor
): corresponde a .
Outra forma útil de representar todos os pontos é a parametrização
pois
descreve uma circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 7
Instruções simples para esboçar no papel:
- desenhe o plano com eixos
(real) e (imaginário);\n - marque o centro em
(ou seja, uma unidade à direita do eixo e uma unidade abaixo do eixo );\n - trace uma circunferência de raio
ao redor desse centro;\n - marque os quatro pontos cardeais listados no Passo 6 para guiar o desenho.
Resposta
Circunferência de centro
(coordenadas
) e raio
.