Obtenha uma formulação numérica para
\alpha_{x} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\alpha_{y} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}-\beta \varphi=0
onde \alpha_{x}, \alpha_{y} e \beta são constantes.

Passo 1

O enunciado pede uma formulação numérica para a equação
\alpha_{x} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\alpha_{y} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}-\beta \varphi=0,
onde \alpha_{x},\alpha_{y},\beta são constantes. Dados claros do enunciado:
  • A equação diferencial parcial estacionária é fornecida sem termos de fonte.
  • \alpha_{x},\alpha_{y},\beta são constantes conhecidas.
  • Não são dadas condições de contorno (vou assumir que vamos formular a discretização interior; contornos serão tratados depois).
    O objetivo daqui para frente: construir uma aproximação por diferenças finitas no ponto interior genérico (i,j) de uma malha retangular com espaçamentos \Delta x e \Delta y.

Passo 2

Escolhemos uma malha regular e notação:
  • Denotamos por \varphi_{i,j} a aproximação numérica de \varphi(x_i,y_j), onde x_i=i\Delta x e y_j=j\Delta y.
  • Para aproximar derivadas segundas usamos diferenças centrais (método padrão, precisão O(\Delta x^2,\Delta y^2)).
Agora explico a fórmula da segunda derivada por diferenças centrais (aulas rápidas!): para uma função suave \varphi(x), a expansão em Taylor dá
\varphi(x+\Delta x)=\varphi(x)+\Delta x\,\varphi'(x)+\tfrac{(\Delta x)^2}{2}\varphi''(x)+\tfrac{(\Delta x)^3}{6}\varphi^{(3)}(x)+\cdots
e
\varphi(x-\Delta x)=\varphi(x)-\Delta x\,\varphi'(x)+\tfrac{(\Delta x)^2}{2}\varphi''(x)-\tfrac{(\Delta x)^3}{6}\varphi^{(3)}(x)+\cdots.
Somando as duas expansões, os termos ímpares cancelam e obtemos a aproximação central
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}(x)\approx\frac{\varphi(x+\Delta x)-2\varphi(x)+\varphi(x-\Delta x)}{(\Delta x)^2},
com erro truncamento da ordem de (\Delta x)^2. A mesma ideia vale para y.

Passo 3

Aplicamos essas aproximações no ponto (i,j):
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}\Big|_{i,j}\approx\frac{\varphi_{i+1,j}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i-1,j}}{(\Delta x)^2},
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}\Big|_{i,j}\approx\frac{\varphi_{i,j+1}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i,j-1}}{(\Delta y)^2}.
Substituindo na equação diferencial temos (colocando tudo no ponto (i,j)):
\alpha_x\frac{\varphi_{i+1,j}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} +\alpha_y\frac{\varphi_{i,j+1}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i,j-1}}{(\Delta y)^2} -\beta\,\varphi_{i,j}=0.

Passo 4

Agrupamos os termos por vizinhos e pelo ponto central \varphi_{i,j}. Os coeficientes dos vizinhos são positivos (provenientes das segundas diferenças) e o coeficiente do ponto central é a soma negativa dos termos:
\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}\varphi_{i+1,j} +\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}\varphi_{i-1,j} +\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}\varphi_{i,j+1} +\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}\varphi_{i,j-1} -\Big(2\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}+2\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}+\beta\Big)\varphi_{i,j}=0.
Este é o esquema de cinco pontos (five-point stencil) para a equação dada.

Passo 5

É útil escrever na forma padrão com coeficientes (notação comum em códigos numéricos):
definimos
a_E=a_W=\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2},\qquad a_N=a_S=\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2},
a_P=-\Big(2\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}+2\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}+\beta\Big).
A equação compacta fica
a_E\varphi_{i+1,j}+a_W\varphi_{i-1,j}+a_N\varphi_{i,j+1}+a_S\varphi_{i,j-1}+a_P\varphi_{i,j}=0.

Passo 6

Podemos isolar \varphi_{i,j} (forma útil para métodos iterativos tipo Jacobi/Gauss–Seidel):
\varphi_{i,j} =\frac{\dfrac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}\big(\varphi_{i+1,j}+\varphi_{i-1,j}\big) +\dfrac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}\big(\varphi_{i,j+1}+\varphi_{i,j-1}\big)} {2\dfrac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}+2\dfrac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}+\beta}.
Essa fórmula diz: no ponto interior, o valor é a média ponderada dos quatro vizinhos, com peso determinado por \alpha_x,\alpha_y e pelos tamanhos de malha.

Passo 7

Observações práticas rápidas (úteis para prova/implementação):
  • Se houver condições de contorno de Dirichlet, os \varphi nas fronteiras são conhecidos e entram no lado direito ao montar o sistema linear; se forem Neumann, substitui-se a derivada por uma diferença e ajustar os coeficientes.
  • Ordem de precisão do esquema: O((\Delta x)^2,(\Delta y)^2).
  • Caso especial \Delta x=\Delta y=h e \alpha_x=\alpha_y=\alpha: os coeficientes ficam a_E=a_W=a_N=a_S=\alpha/h^2 e a_P=-(4\alpha/h^2+\beta). Para \alpha=1,\beta=0 recuperamos o esquema clássico de Laplace:
\varphi_{i,j}=\tfrac{1}{4}\big(\varphi_{i+1,j}+\varphi_{i-1,j}+\varphi_{i,j+1}+\varphi_{i,j-1}\big) \quad\text{quando }h^2\text{ fator cancela (caso específico)}.í

Resposta

\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}\varphi_{i+1,j} +\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}\varphi_{i-1,j} +\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}\varphi_{i,j+1} +\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}\varphi_{i,j-1} -\Big(2\frac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}+2\frac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}+\beta\Big)\varphi_{i,j}=0.
\varphi_{i,j} =\frac{\dfrac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}\big(\varphi_{i+1,j}+\varphi_{i-1,j}\big) +\dfrac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}\big(\varphi_{i,j+1}+\varphi_{i,j-1}\big)} {2\dfrac{\alpha_x}{(\Delta x)^2}+2\dfrac{\alpha_y}{(\Delta y)^2}+\beta}.

Exercícios relacionados