onde \alpha_{x},\alpha_{y},\beta são constantes. Dados claros do enunciado:
A equação diferencial parcial estacionária é fornecida sem termos de fonte.
\alpha_{x},\alpha_{y},\beta são constantes conhecidas.
Não são dadas condições de contorno (vou assumir que vamos formular a discretização interior; contornos serão tratados depois).
O objetivo daqui para frente: construir uma aproximação por diferenças finitas no ponto interior genérico (i,j) de uma malha retangular com espaçamentos \Delta x e \Delta y.
Passo 2
Escolhemos uma malha regular e notação:
Denotamos por \varphi_{i,j} a aproximação numérica de \varphi(x_i,y_j), onde x_i=i\Delta x e y_j=j\Delta y.
Agrupamos os termos por vizinhos e pelo ponto central \varphi_{i,j}. Os coeficientes dos vizinhos são positivos (provenientes das segundas diferenças) e o coeficiente do ponto central é a soma negativa dos termos:
Essa fórmula diz: no ponto interior, o valor é a média ponderada dos quatro vizinhos, com peso determinado por \alpha_x,\alpha_y e pelos tamanhos de malha.
Passo 7
Observações práticas rápidas (úteis para prova/implementação):
Se houver condições de contorno de Dirichlet, os \varphi nas fronteiras são conhecidos e entram no lado direito ao montar o sistema linear; se forem Neumann, substitui-se a derivada por uma diferença e ajustar os coeficientes.
Ordem de precisão do esquema: O((\Delta x)^2,(\Delta y)^2).
Caso especial \Delta x=\Delta y=h e \alpha_x=\alpha_y=\alpha: os coeficientes ficam a_E=a_W=a_N=a_S=\alpha/h^2 e a_P=-(4\alpha/h^2+\beta). Para \alpha=1,\beta=0 recuperamos o esquema clássico de Laplace: