Analisando as fórmulas dos erros para as regras do Trapézio e as de 1 / 3 de Simpson, qual das duas regras é a melhor? (Vc deverá fazer sua justificativa se baseando nestas fórmulas.)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa comparar, por meio das fórmulas de erro, qual é “melhor” – a regra do Trapézio ou a regra 1/3 de Simpson.
Conteúdo da matéria: integração numérica e análise de erro.
O que vamos precisar: as expressões do erro para cada método e o conceito de ordem de convergência (como o erro cai quando refinamos o passo ).

Passo 2

Fórmula de erro da regra do Trapézio (num intervalo ET ;=; -,(b-a),h^212,f''(xi) para algum xiin[a,b] dividido em subintervalos de tamanho ):
Teoria aplicada: esse termo mostra que o erro de Trapézio é da ordem . Ou seja, se você reduzir pela metade, o erro cai em torno de vezes (porque ).

Passo 3

Fórmula de erro da regra 1/3 de Simpson (mesma divisão, mesmo ES ;=; -,(b-a),h^4180,f^(4)(xi) para algum xiin[a,b] ):
Teoria aplicada: aqui o erro é da ordem . Se você reduzir pela metade, o erro cai cerca de vezes (porque ).

Passo 4

Comparação das ordens de convergência:
  • Trapézio:
  • Simpson:
Como tende a zero muito mais rápido que quando , isso significa que, para funções suficientemente suaves (com derivadas até a quarta ordem limitadas), Simpson erra muito menos que Trapézio para o mesmo .

Resposta

A regra 1/3 de Simpson é melhor, pois seu erro é da ordem , enquanto o do Trapézio é apenas .

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