Analisando as fórmulas dos erros para as regras do Trapézio e as de
de Simpson, qual das duas regras é a melhor? (Vc deverá fazer sua justificativa se baseando nestas fórmulas.)
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa comparar, por meio das fórmulas de erro, qual é “melhor” – a regra do Trapézio ou a regra 1/3 de Simpson.
Conteúdo da matéria: integração numérica e análise de erro.
O que vamos precisar: as expressões do erro para cada método e o conceito de ordem de convergência (como o erro cai quando refinamos o passo ).
Conteúdo da matéria: integração numérica e análise de erro.
O que vamos precisar: as expressões do erro para cada método e o conceito de ordem de convergência (como o erro cai quando refinamos o passo
Passo 2
Fórmula de erro da regra do Trapézio (num intervalo
dividido em
subintervalos de tamanho
):
Teoria aplicada: esse termo mostra que o erro de Trapézio é da ordem
. Ou seja, se você reduzir
pela metade, o erro cai em torno de
vezes (porque
).
Passo 3
Fórmula de erro da regra 1/3 de Simpson (mesma divisão, mesmo
):
Teoria aplicada: aqui o erro é da ordem
. Se você reduzir
pela metade, o erro cai cerca de
vezes (porque
).
Passo 4
Comparação das ordens de convergência:
- Trapézio:
- Simpson:
Como
tende a zero muito mais rápido que
quando
, isso significa que, para funções suficientemente suaves (com derivadas até a quarta ordem limitadas), Simpson erra muito menos que Trapézio para o mesmo
.
Resposta
A regra 1/3 de Simpson é melhor, pois seu erro é da ordem
, enquanto o do Trapézio é apenas
.