Analise a convergência das seguintes séries:

Passo 1

Beleza, tamo com a série
.
Conteúdo: convergência de séries (vai rolar o teste de Leibniz, que é o teste da série alternante, e depois comparar pra ver se converge absolutamente).
O que vamos precisar:
  1. Mostrar que os termos positivos vão a zero e são decrescentes.
  2. Aplicar o teste de série alternante (Leibniz).
  3. Verificar a convergência absoluta, comparando com algo como .

Passo 2

Primeiro, vê que
bn=sin!l(tfracpinr)>0 e limntoinftybn =limntoinftysin!l(tfracpinr) =0,
porque e quando .

Passo 3

Agora, precisamos checar que 0 é decrescente. Como para sin!l(tfracpin+1r) temos
e é crescente em , dá

Passo 4

Com isso, os sumn=1^infty(-1)^nsin!l(tfracpinr) decrescem e vão a zero. Aí é só usar o TESTE DE LEIBNIZ (série alternante):
“Se , então converge.”
Logo
é convergente.

Passo 5

Pra ver se é absolutamente convergente, olhamos
sumn=1^inftyl|sin(tfracpi n)r| =sumn=1^inftysin!l(tfracpinr)
Como para limntoinftysin(pi/n)1/n =pineq0,infty, vale , dá
então por comparação limite a (que diverge), nossa série de módulos também diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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