Analise a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 2^nn!

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente checar se a série
sumn=1^infty 2^nn!
converge ou não. Isso cai em “séries numéricas” e, mais especificamente, vamos usar o teste da razão de D’Alembert. Também vale lembrar o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Vamos definir o termo geral como
an = 2^nn!
No teste da razão, a gente calcula
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = limntoinfty 2n+1 = 0
Como , a teoria diz que a série converge absolutamente.

Passo 3

Pronto, já sabemos que converge. Se quisermos até achar o valor dessa série, lembramos da expansão
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Para sumn=0^infty 2^nn! = e^2 , dá
sumn=1^infty 2^nn! = e^2 - 2^00! = e^2 - 1
Só que a nossa soma começa em , então tiramos o termo de ordem zero:

Resposta

A série boxede^2 - 1 converge absolutamente e seu valor é

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