Analise a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n e^-n^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a convergência da série
sumn=1^infty n,e^-n^2
Isso é parte de “Convergência de Séries Numéricas” (séries de termos positivos).
Para resolver, vamos precisar de um “teste de convergência” que seja fácil de aplicar aqui – o mais direto é o teste da razão.

Passo 2

O teste da razão funciona assim. Se temos uma série de termos positivos L ;=; limntoinftyan+1an , consideramos
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo e temos que usar outro método.

Passo 3

No nosso caso, an+1an = (n+1),e^-(n+1)^2n,e^-n^2 = n+1n,expl[-(n+1)^2 + n^2r] = l(1 + 1nr),e^-2n-1 . Vamos calcular
L = limntoinftyl(1 + tfrac1nr),e^-2n-1
Agora o limite quando L = 0 :
A parte tende a 1, e cai rapidíssimo a 0, logo
Como , pelo teste da razão a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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