1. Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
sumn=0^infty (n!)^k(k n)! x^n
[Resposta: k^k ]

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty (n!)^k(k,n)!;x^n,
onde k é um inteiro positivo. O conteúdo aqui é “séries de potências” e, para achar o raio, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão diz o seguinte: se a n é o coeficiente de x^n, definimos
L = limntoinftyl|an+1anr|
Se esse limite existir e for L, o raio de convergência é
R = 1L
Ou seja, a gente calcula a n+1/a n, faz o limite e depois inverte.

Passo 3

Aqui a n = (n!)^k(kn)!. Logo
an+1an = l((n+1)!r)^kl(k(n+1)r)! ;/; (n!)^k(kn)! = (n+1)!^k(kn + k)!;(kn)!(n!)^k
Agora, (n+1)! = (n+1),n!, então (n+1)!^k = (n+1)^k (n!)^k. Substituindo:

Passo 4

an+1an = (n+1)^k,(n!)^k(kn + k)!;(kn)!(n!)^k = (n+1)^k;(kn)!(kn+k)!
E ,(kn+k)! = (kn+k)(kn+k-1)cdots (kn+1),(kn)!. Então
(kn)!(kn+k)! = 1(kn+1)(kn+2)cdots(kn+k)
Fica
an+1an = (n+1)^kprodj=1^k(kn+j)

Passo 5

Agora a gente pega o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty(n+1)^k(kn+1)(kn+2)cdots(kn+k)
Cada fator (kn+j) se comporta como kn para n grande, então
(kn+1)cdots(kn+k)sim (kn)^k = k^k,n^k
E o numerador (n+1)^ksim n^k. Logo
L = limntoinftyn^kk^k,n^k = 1k^k
Então, pelo teste da razão, o raio é
R = 1L = k^k

Resposta

O raio de convergência da série é R = k^k,.

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