- Se
for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
[Resposta:
]
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão pede o raio de convergência da série de potências
onde
é um inteiro positivo. O conteúdo aqui é “séries de potências” e, para achar o raio, vamos usar o Teste da Razão.
Passo 2
O Teste da Razão diz o seguinte: se a
é o coeficiente de
, definimos
Se esse limite existir e for
L , o raio de convergência é
Ou seja, a gente calcula a
n+1/ a
n , faz o limite e depois inverte.
Passo 3
Aqui a
n = (n!)^k(kn)! . Logo
Agora,
(n+1)! = (n+1),n! , então
(n+1)!^k = (n+1)^k (n!)^k . Substituindo:
Passo 4
E
,(kn+k)! = (kn+k)(kn+k-1)cdots (kn+1),(kn)! . Então
Fica
Passo 5
Agora a gente pega o limite quando
ntoinfty :
Cada fator
(kn+j) se comporta como
kn para
n grande, então
E o numerador
(n+1)^ksim n^k . Logo
Então, pelo teste da razão, o raio é
Resposta
O raio de convergência da série é
R = k^k, .