Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
(a)
,
(a)
Passo 1
Então, o problema pede pra gente analisar se a série
converge ou diverge, usando ou o teste da raiz ou o teste da integral. Isso é conteúdo de séries numéricas — a ideia é ver se a soma infinita tá “acumulando” um valor finito ou não. Para resolver, vamos precisar conhecer o teste da integral (condições de aplicação e como avaliar uma integral imprópria).
Passo 2
Vamos escolher o teste da integral porque ele é direto pra séries do tipo
. Primeiro, definimos a função
Precisamos verificar três coisas para aplicar o teste:
-
é positiva para . -
é contínua em . -
é decrescente em .
Aqui tudo bate fácil:
, é contínua e, como a derivada
é negativa,
é decrescente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da integral: calculamos a integral imprópria
Para isso, lembramos que
Então
Como a integral deu um valor finito (igual a 1), pelo teste da integral a série
converge.
Resposta
A série
é convergente pelo teste da integral.