Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
(a) sum 1n^2,

Passo 1

Então, o problema pede pra gente analisar se a série
sumn=1^infty 1n^2
converge ou diverge, usando ou o teste da raiz ou o teste da integral. Isso é conteúdo de séries numéricas — a ideia é ver se a soma infinita tá “acumulando” um valor finito ou não. Para resolver, vamos precisar conhecer o teste da integral (condições de aplicação e como avaliar uma integral imprópria).

Passo 2

Vamos escolher o teste da integral porque ele é direto pra séries do tipo f(x) = 1x^2, x>=1 . Primeiro, definimos a função
f'(x) = -2x^3
Precisamos verificar três coisas para aplicar o teste:
  1. é positiva para .
  2. é contínua em .
  3. é decrescente em .
Aqui tudo bate fácil: , é contínua e, como a derivada
é negativa, é decrescente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da integral: calculamos a integral imprópria
integral1^infty 1x^2,dx
Para isso, lembramos que
integral 1x^2,dx = integral x^-2,dx = -x^-1 + C = -1x + C
Então
integral1^infty 1x^2,dx = limttoinfty l[-1xr]1^t = limttoinfty l(-1t + 11r) = 0 + 1 = 1
Como a integral deu um valor finito (igual a 1), pelo teste da integral a série converge.

Resposta

A série é convergente pelo teste da integral.

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