Verifique a convergência das seguintes séries
(e)
,
(e)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente verificar a convergência da série
Isso é conteúdo de séries numéricas, usando testes de convergência (decomposição, comparação, Dirichlet etc.). Vamos precisar:
- Linearidade de séries (separa em duas séries)
- Saber que a série harmônica
diverge - Teste de Dirichlet (ou Abel) pra
Passo 2
Primeiro, separa a série em duas partes usando linearidade:
Logo
Passo 3
Olha a primeira parte:
A famosa série harmônica
diverge (vai pro infinito). Multiplicar por 2 não muda isso: continua divergindo.
Passo 4
Agora, a segunda parte:
Aqui a gente usa o teste de Dirichlet:
-
é positivo, decrescente e tende a 0. -
tem somas parciais que são limitadas (é um somatório oscilante, dá pra mostrar via série geométrica complexa que nunca cresce sem limite).
Pelo teste de Dirichlet,converge. Então é convergente (mas condicionalmente, não absolutamente).
Passo 5
Juntando as duas:
- A parte
diverge. - A parte
converge.
Logo, a soma das duas séries dá divergir, já que adicionar algo finito a algo que vai pro infinito ainda vai pro infinito.
Resposta
A série
diverge.