Verifique a convergência das seguintes séries
(e) sum 2+cos nn,

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente verificar a convergência da série
sumn=1^infty 2 + cos nn
Isso é conteúdo de séries numéricas, usando testes de convergência (decomposição, comparação, Dirichlet etc.). Vamos precisar:
  • Linearidade de séries (separa em duas séries)
  • Saber que a série harmônica diverge
  • Teste de Dirichlet (ou Abel) pra

Passo 2

Primeiro, separa a série em duas partes usando linearidade:
2+cos nn = 2cdot1n ;+;cos nn
Logo
sumn=1^infty 2+cos nn = 2sumn=1^infty 1n ;+;sumn=1^infty cos nn

Passo 3

Olha a primeira parte:
2sumn=1^infty 1n = 2l(1 + tfrac12 + tfrac13 + cdotsr)
A famosa série harmônica diverge (vai pro infinito). Multiplicar por 2 não muda isso: continua divergindo.

Passo 4

Agora, a segunda parte:
sumn=1^infty cos nn
Aqui a gente usa o teste de Dirichlet:
  1. é positivo, decrescente e tende a 0.
  2. tem somas parciais que são limitadas (é um somatório oscilante, dá pra mostrar via série geométrica complexa que nunca cresce sem limite).
    Pelo teste de Dirichlet, converge. Então é convergente (mas condicionalmente, não absolutamente).

Passo 5

Juntando as duas:
  • A parte diverge.
  • A parte converge.
    Logo, a soma das duas séries dá divergir, já que adicionar algo finito a algo que vai pro infinito ainda vai pro infinito.

Resposta

A série diverge.

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